Если в словах НОВОСТИ и ТЕХНИКА каждую букву заменить определенной цифрой (разным буквам соответствуют разные цифры), то получится два числа.
Известно, что у этих чисел произведения цифр равны. Могут ли оба числа быть
нечетными?

Для решения задачи нужно рассмотреть свойства чисел и условий, заданных в вопросе.

1. Произведения цифр равны. Пусть слово "НОВОСТИ" кодируется числом $A$, а слово "ТЕХНИКА" — числом $B$. В таком случае произведения цифр числа $A$ и числа $B$ одинаковы:

   $$P(A) = P(B),$$

   где $P(X)$ обозначает произведение цифр числа $X$.

2. Оба числа нечетные. Для числа быть нечетным, его последняя цифра должна быть нечетной ($1, 3, 5, 7, 9$). Поэтому в числах $A$ и $B$ последняя буква (соответствующая последней цифре) должна быть закодирована нечетной цифрой.

3. Разным буквам соответствуют разные цифры. В словах "НОВОСТИ" и "ТЕХНИКА" 7 букв каждая, но букв всего 10: $\{ Н, О, В, С, Т, И, Е, Х, К, А \}$. Следовательно, для каждой буквы нужно найти уникальную цифру от 0 до 9.

Теперь важно понять, возможно ли, чтобы числа $A$ и $B$ одновременно были нечетными при условии равенства произведений цифр.

Ключевой момент: паритет произведений

Произведение цифр числа зависит от чётности и нечётности этих цифр:

• Если хотя бы одна цифра числа чётная ($0, 2, 4, 6, 8$), то произведение цифр тоже будет чётным.
• Если все цифры числа нечетные ($1, 3, 5, 7, 9$), то произведение цифр будет нечётным.

Для выполнения условия $P(A) = P(B)$ нужно, чтобы произведения цифр у $A$ и $B$ имели одинаковую чётность. Если оба числа $A$ и $B$ нечетные, это означает, что:

1. Все цифры числа $A$ нечётные.
2. Все цифры числа $B$ нечётные.

Проблема с уникальными цифрами

Для соответствия букв уникальным цифрам потребуется 10 различных цифр. Однако в диапазоне нечетных цифр ($1, 3, 5, 7, 9$) их всего 5. Следовательно, не получится закодировать все 10 букв уникальными нечетными цифрами.

Вывод

Оба числа $A$ и $B$ не могут быть одновременно нечетными, поскольку это нарушает условие использования разных цифр для каждой буквы. Таким образом, хотя равенство произведений цифр возможно, требование уникальности цифр исключает возможность, чтобы оба числа состояли только из нечетных цифр.