У мамы 2 одинаковых апельсина, 3 одинаковых банана и 4 одинаковых ананаса. Каждый день в течение девяти дней она выдавала дочери по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?

Так как фруктов всего ровно $2+3+4=9$, за девять дней будут розданы все фрукты: 2 апельсина, 3 банана и 4 ананаса.

Нужно посчитать количество различных последовательностей из 9 дней, где:

• апельсин встречается 2 раза;

• банан — 3 раза;

• ананас — 4 раза.

Если бы все фрукты были различимы, было бы $9!$ способов. Но апельсины одинаковы между собой, поэтому порядок двух апельсинов не меняет способ раздачи — делим на $2!$. Аналогично делим на $3!$ для бананов и на $4!$ для ананасов:

Ответ: $\boxed{1260}$ способов.