Медиана ВМ и биссектриса АР треугольника АВС пересекаются в точке К, длина стороны АС втрое больше длины стороны АВ. Найдите отношение площади треугольника АКМ к площади четырехугольника КРСМ

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$, где:

• Медиана $AM$ проведена к стороне $BC$.
• Биссектриса $AR$ проведена к углу $\angle BAC$.
• Точка $K$ — точка пересечения медианы $AM$ и биссектрисы $AR$.
• Дано, что $AC = 3 \cdot AB$.

Нужно найти отношение площади треугольника $\triangle AKM$ к площади четырехугольника $KPRM$, где $P$, $R$, $M$ — точки пересечения и деления.

Шаг 1. Свойства треугольника

1. Так как $AC = 3 \cdot AB$, треугольник $ABC$ имеет сильно вытянутую форму, где $AC$ значительно больше $AB$.
2. Медиана $AM$ делит сторону $BC$ на два равных отрезка, то есть $BM = MC$.
3. Биссектриса $AR$ делит угол $\angle BAC$ в отношении сторон $AB$ и $AC$, то есть $\frac{BR}{RC} = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{3}$.

Шаг 2. Координаты точек

Рассмотрим $A(0, 0)$, $B(b, 0)$, и $C(0, c)$, где $c = 3b$ (так как $AC = 3 \cdot AB$).

• Точка $M$ (середина $BC$):

  $$M = \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{3b}{2} \right).$$

• Точка $R$ на стороне $BC$ делится в отношении $1:3$:

  $$R = \frac{3B + C}{1 + 3} = \left( \frac{3b + 0}{4}, \frac{0 + 3b}{4} \right) = \left( \frac{3b}{4}, \frac{3b}{4} \right).$$

Шаг 3. Точка пересечения $K$

Точка $K$ — пересечение медианы $AM$ и биссектрисы $AR$. Выразим их уравнения:

1. Уравнение медианы $AM$ (через $A$ и $M$):

   $$y = 3x.$$

2. Уравнение биссектрисы $AR$ (через $A$ и $R$):

   $$y = x.$$

Точка пересечения:

Следовательно, $K(0, 0)$.

Шаг 4. Площади фигур

1. Площадь треугольника $\triangle AKM$:

Точки $A(0, 0)$, $K(0, 0)$, $M\left(\frac{b}{2}, \frac{3b}{2}\right)$. Площадь: