За один час две трубы наполнили бассейн объемом 22м3. Сколько кубометров заполнила первая труба, если 2м3 она заполнила на 3 мин быстрее, чем вторая труба заполнила 3м3?

Рассмотрим задачу внимательно и решим её поэтапно.

Дано:

1. Первая труба заполнила бассейн на $x$ кубометров.
2. Вторая труба заполнила $22 - x$ кубометров (общий объем бассейна 22 м³).
3. Первая труба наполняет 2 м³ на 3 минуты быстрее, чем вторая наполняет 3 м³.

Требуется найти объем воды $x$, заполняемой первой трубой.

Шаг 1: Введение обозначений скорости

• Пусть скорость первой трубы будет $v_1$ (в м³/мин).
• Скорость второй трубы будет $v_2$ (в м³/мин).

Тогда время наполнения 2 м³ первой трубой составляет $\frac{2}{v_1}$, а время наполнения 3 м³ второй трубой составляет $\frac{3}{v_2}$.

Согласно условию, разница во времени составляет 3 минуты:

Шаг 2: Время наполнения всего бассейна

Бассейн объемом 22 м³ заполняется за 1 час (60 минут). Значит, совместная работа двух труб дает:

Приведем это уравнение к более удобной форме:

Шаг 3: Выражение скоростей через объемы

Пусть время, за которое первая труба заполняет свой объем $x$, равно $\frac{x}{v_1}$, а время второй трубы — $\frac{22 - x}{v_2}$. Так как трубы работают одновременно и наполняют бассейн за 60 минут, можем записать:

Отсюда выражаем $v_1$ и $v_2$:

Шаг 4: Подстановка в уравнение разницы времени

Теперь подставим $v_1$ и $v_2$ в уравнение разницы времени $\frac{3}{v_2} - \frac{2}{v_1} = 3$:

Упростим дроби:

Сократим множители:

Шаг 5: Приведение к общему знаменателю

Общий знаменатель — $x(22 - x)$. Умножим на него обе части уравнения:

Раскрываем скобки:

Собираем всё в одну часть:

Упрощаем:

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

Решим через дискриминант: