Разделив некоторое целое число на 15,Боря получил в остатке 8,а разделив его на 20,он получил в остатке 17. Покажи,что Боря ошибся

Чтобы показать, что Боря ошибся, разберем условия задачи с точки зрения математики:

1. Что означает "остаток при делении"?
   Если $a$ — некоторое целое число, то деление $a$ на $n$ можно записать в виде:

   $$a = qn + r$$

   где:

   • $q$ — целое число (частное от деления),
   • $r$ — остаток от деления, удовлетворяющий условию $0 \leq r < n$.

   Таким образом, остаток $r$ всегда меньше делителя $n$.

2. Условие 1: остаток при делении на 15 равен 8.
   Это означает, что: $$a = 15k + 8$$ где $k$ — некоторое целое число.
   Здесь $r = 8$, и оно корректно, так как $0 \leq 8 < 15$.

3. Условие 2: остаток при делении на 20 равен 17.
   Это означает, что: $$a = 20m + 17$$ где $m$ — некоторое целое число.
   Здесь $r = 17$, и оно тоже корректно, так как $0 \leq 17 < 20$.

4. Связь условий и проверка на совместимость.
   Поскольку $a$ — одно и то же число, можем приравнять два выражения для $a$: $$15k + 8 = 20m + 17$$ Переносим всё в одну сторону: $$15k - 20m = 9$$ Это линейное уравнение в целых числах для $k$ и $m$.

5. Проверим на совместимость с модульной арифметикой.
   Уравнение $15k - 20m = 9$ можно упростить, разделив на 5: $$3k - 4m = 9$$ Из этого следует: $$3k = 9 + 4m$$ Поскольку $3k$ делится на 3, правая часть $9 + 4m$ тоже должна делиться на 3. Проверим условие делимости: $$9 + 4m \equiv 0 \ (\text{mod } 3)$$ Упростим: $$4m \equiv 0 \ (\text{mod } 3)$$ Так как $4 \equiv 1 \ (\text{mod } 3)$, то уравнение становится: $$m \equiv 0 \ (\text{mod } 3)$$ Следовательно, $m$ должно быть кратно 3: $m = 3n$, где $n$ — целое число.

6. Подставим $m = 3n$ в исходное уравнение.
   Уравнение $3k - 4m = 9$ превращается в: $$3k - 4(3n) = 9$$ $$3k - 12n = 9$$ Делим всё на 3: $$k - 4n = 3$$ Отсюда: $$k = 4n + 3$$

7. Проверим значения $a$.
   Теперь подставим $k = 4n + 3$ и $m = 3n$ в выражение $a = 15k + 8$:

   $$a = 15(4n + 3) + 8$$ $$a = 60n + 45 + 8$$ $$a = 60n + 53$$

   Это общее выражение для $a$. Проверим, что $a$ также должно удовлетворять второму условию $a = 20m + 17$:

   $$a = 20(3n) + 17$$ $$a = 60n + 17$$

   Однако из первого выражения $a = 60n + 53$. Приравниваем:

   $$60n + 53 = 60n + 17$$ $$53 = 17$$

   Это противоречие.

8. Вывод:
   Число $a$, которое удовлетворяет обоим условиям, не существует. Следовательно, Боря ошибся в своих расчетах.