Векторы p и v взаимно перпендикулярны, но одинаковой длины: 6 см. Определи скалярное произведение векторов a и d , которые выражены следующим образом:

a =2⋅p⃗ −2⋅v⃗ , d =2⋅p⃗ +2⋅v⃗

Чтобы найти скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{d}$, начнем с подстановки их выражений:

Формула скалярного произведения

Скалярное произведение двух векторов $\mathbf{a} \cdot \mathbf{d}$ можно найти по формуле:

Раскрытие произведения

Используем дистрибутивность скалярного произведения:

Упрощение каждого слагаемого

1. $(2\mathbf{p}) \cdot (2\mathbf{p}) = 4(\mathbf{p} \cdot \mathbf{p})$,
2. $(2\mathbf{p}) \cdot (2\mathbf{v}) = 4(\mathbf{p} \cdot \mathbf{v})$,
3. $-(2\mathbf{v}) \cdot (2\mathbf{p}) = -4(\mathbf{v} \cdot \mathbf{p})$,
4. $-(2\mathbf{v}) \cdot (2\mathbf{v}) = -4(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})$.

Объединим это:

Учитываем свойства скалярного произведения

1. $\mathbf{p} \cdot \mathbf{v} = 0$, так как $\mathbf{p}$ и $\mathbf{v}$ взаимно перпендикулярны.
2. $\mathbf{p} \cdot \mathbf{p} = |\mathbf{p}|^2 = 6^2 = 36$, так как длина $\mathbf{p}$ равна 6 см.
3. $\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{v}|^2 = 6^2 = 36$, так как длина $\mathbf{v}$ равна 6 см.

Подставляем это в выражение:

Итоговый результат

Ответ:

Скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{d}$ равно 0.