Докажите тождество: (AΔB)Δ(A⋂B) = (A∪B)

Множество \(A\triangle B\) содержит элементы, которые принадлежат только одному из множеств \(A\) или \(B\). Множество \(A\cap B\) содержит элементы, принадлежащие одновременно \(A\) и \(B\).

Эти множества не пересекаются: элемент не может одновременно принадлежать только одному множеству и обоим множествам сразу. Поэтому их симметрическая разность равна объединению:

\[(A\triangle B)\triangle(A\cap B)=(A\triangle B)\cup(A\cap B)\]

В этой объединённой части находятся все элементы из \(A\) и \(B\): либо только из одного множества, либо из обоих. Значит,

\[(A\triangle B)\triangle(A\cap B)=A\cup B.\]

0 0 Пожаловаться