Имеется две ёмкости с сахарным сиропом объёмами 6 и 12 литров с разным процентным содержанием сахара (сахарный сироп — это смесь сахара и воды). Из каждой ёмкости зачерпнули V литров сиропа и перелили в другой сосуд. Оказалось, что после этого процентное содержание сахара в обеих ёмкостях стало одинаковым. Найдите V.

Задача сводится к нахождению объёма $V$, который был перелит из каждой из ёмкостей, чтобы после переливания процентное содержание сахара в обеих ёмкостях стало одинаковым. Для этого воспользуемся уравнениями баланса масс сахара и общей массы сиропа.

Обозначения и исходные данные:

1. Пусть в первой ёмкости объём сиропа равен 6 литров, а процентное содержание сахара в ней — $p_1$%.
2. Во второй ёмкости объём сиропа — 12 литров, а процентное содержание сахара — $p_2$%.

Шаг 1: Количество сахара до переливания

• В первой ёмкости до переливания сахар содержится в количестве: $$S_1 = \frac{p_1}{100} \times 6$$
• Во второй ёмкости до переливания сахар содержится в количестве: $$S_2 = \frac{p_2}{100} \times 12$$

Шаг 2: После переливания Пусть из каждой ёмкости зачерпнули и перелили $V$ литров сиропа. После этого в каждой ёмкости останется по $6 - V$ литров сиропа в первой ёмкости и $12 - V$ литров сиропа во второй.

Количество сахара, которое перебрасывается, зависит от процента сахара в сиропе. Когда из первой ёмкости забирают $V$ литров сиропа, из неё уходит $V \times \frac{p_1}{100}$ литров сахара. Точно так же из второй ёмкости уходит $V \times \frac{p_2}{100}$ литров сахара.

• Сахар в первой ёмкости после переливания: $$S_1' = S_1 - V \times \frac{p_1}{100} + V \times \frac{p_2}{100}$$
• Сахар во второй ёмкости после переливания: $$S_2' = S_2 - V \times \frac{p_2}{100} + V \times \frac{p_1}{100}$$

Шаг 3: Условие одинакового процента сахара в обеих ёмкостях После переливания процентное содержание сахара в обеих ёмкостях должно стать одинаковым. Это означает, что доля сахара в обеих ёмкостях должна быть равной. Для первой ёмкости:

Подставим выражения для $S_1'$ и $S_2'$:

Шаг 4: Упростим уравнение Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от знаменателя:

Теперь подставим выражения для $S_1$ и $S_2$: