В прямоугольнике ABCD известны координаты A (-2;5) и B (4;5) и центр симметрии E (1;2). Найдите координаты вершин C и D.

Для решения задачи нужно использовать свойство симметрии прямоугольника относительно его центра. В этом случае нам даны координаты двух вершин прямоугольника — A и B, а также координаты центра симметрии E.

Шаг 1: Разберемся, как найти координаты вершин C и D.

Из условия задачи известно, что точка E является центром симметрии прямоугольника. Это означает, что центр симметрии находится на середине отрезка, соединяющего противоположные вершины прямоугольника.

Пусть $A(-2; 5)$, $B(4; 5)$ — две известные вершины, а $E(1; 2)$ — центр симметрии. Для того чтобы найти координаты вершин C и D, воспользуемся следующим подходом:

1. Найдем, как точка E связана с точками A и B.

   Центр симметрии — это середина отрезка между противоположными вершинами прямоугольника. Поскольку A и B — это соседние вершины прямоугольника, то противоположные вершины C и D тоже должны располагаться таким образом, чтобы точка E оставалась серединой для отрезков AC и BD.

2. Найдем координаты середины отрезка AB.

   Для нахождения середины отрезка AB используем формулу для середины отрезка:

   $$M_{AB} = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$

   Подставляем координаты A и B:

   $$M_{AB} = \left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{5 + 5}{2}\right) = (1, 5)$$

   Таким образом, середина отрезка AB имеет координаты (1, 5).

3. Теперь используем точку E для нахождения координат вершин C и D.

   Точка E является серединой для отрезков AC и BD, и также находится на линии, соединяющей середины противоположных сторон прямоугольника. Мы видим, что точка E расположена ниже точки M_{AB} (ее координаты — 1, 2), а это значит, что вершины C и D должны быть на одинаковом расстоянии от точки E, но с учетом направления.

4. Вычислим координаты C и D с использованием симметрии относительно E.

   Чтобы найти координаты C и D, нужно использовать свойство симметрии. Мы можем вычислить разность координат между точкой E и M_{AB}:

   $$\Delta x = 1 - 1 = 0, \quad \Delta y = 5 - 2 = 3$$

   Это означает, что координаты C и D будут симметричны относительно точки E. Таким образом, чтобы найти C и D, нужно отнять/прибавить разность координат:

   • Для точки C:

     $$C_x = 1 - 0 = 1, \quad C_y = 2 - 3 = -1$$

     Координаты C: (1, -1)

   • Для точки D:

     $$D_x = 1 + 0 = 1, \quad D_y = 2 + 3 = 5$$

     Координаты D: (1, 5)

Ответ: координаты вершин C и D — (1, -1) и (1, 5).