Числа от
1
до
100
выписали подряд без пробелов. Получилось многозначное
число
1234 . . . 9899100
. Найдите сумму цифр этого числа.

Чтобы найти сумму цифр числа, образованного последовательным записыванием чисел от 1 до 100, давайте разберём процесс поэтапно:

1. Разделение чисел по длине

Числа от 1 до 100 делятся на группы в зависимости от количества цифр:

• Однозначные числа: от 1 до 9 (всего 9 чисел).
• Двузначные числа: от 10 до 99 (всего $99 - 10 + 1 = 90$ чисел).
• Трёхзначные числа: только 100 (всего 1 число).

2. Подсчёт общего количества цифр

Теперь вычислим общее количество цифр, которое даёт каждая группа:

• Однозначные числа: каждое число состоит из одной цифры, значит всего $9 \cdot 1 = 9$ цифр.
• Двузначные числа: каждое число состоит из двух цифр, значит всего $90 \cdot 2 = 180$ цифр.
• Трёхзначное число (100): одно число с тремя цифрами, значит $1 \cdot 3 = 3$ цифры.

Итак, общее количество цифр в числе:

3. Вычисление суммы цифр

Теперь найдём сумму цифр в каждой группе отдельно.

Группа 1: Однозначные числа (1–9)

Сумма всех цифр в этой группе равна:

Группа 2: Двузначные числа (10–99)

Двузначные числа можно разбить на десятки и единицы:

• Десятки: каждая цифра от 1 до 9 повторяется по 10 раз. Сумма всех десятков: $$(1 + 2 + 3 + \dots + 9) \cdot 10 = 45 \cdot 10 = 450.$$
• Единицы: каждая цифра от 0 до 9 повторяется по 9 раз. Сумма всех единиц: $$(0 + 1 + 2 + 3 + \dots + 9) \cdot 9 = 45 \cdot 9 = 405.$$

Сумма цифр двузначных чисел:

Группа 3: Трёхзначное число (100)

Единственное трёхзначное число — 100. Сумма его цифр:

4. Итоговая сумма

Теперь сложим суммы цифр всех групп:

Ответ:

Сумма цифр числа, образованного последовательным записыванием чисел от 1 до 100, равна 901.