Из пункта А в пункт B одновременно выехали автомобилист и велосипедист, причем скорость автомобилиста в 5 раз превышала скорость велосипедиста. Однако на полпути автомобиль сломался, и далее автомобилист до пункта B добирался пешком со скоростью, вдвое меньшей скорости велосипедиста. Удалось ли автосмобилисту прибыть в пункт B раньше велосипедиста?

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте разберем задачу по частям и обозначим необходимые переменные.

Пусть:

• $v$ — скорость велосипедиста (в условных единицах, например, км/ч),
• тогда скорость автомобилиста будет $5v$, так как она в 5 раз больше скорости велосипедиста.

Предположим, расстояние между пунктами A и B равно $D$.

1. Первая часть пути (до полпути):

• Сначала оба участника начинают двигаться одновременно.
• Велосипедист преодолевает половину пути, то есть $\frac{D}{2}$, со скоростью $v$.
• Время, которое затрачивает велосипедист на преодоление половины пути: $$t_1 = \frac{\frac{D}{2}}{v} = \frac{D}{2v}.$$
• Автомобилист преодолевает эту же половину пути с гораздо большей скоростью $5v$, за время: $$t_2 = \frac{\frac{D}{2}}{5v} = \frac{D}{10v}.$$

Таким образом, на первой половине пути автомобилист добирается быстрее, чем велосипедист. Преимущество по времени составляет:

Итак, автомобилист выигрывает на первой половине пути $\frac{2D}{5v}$ времени.

2. Вторая часть пути (после поломки автомобиля):

• Когда автомобиль ломается, автомобилист должен пройти оставшееся расстояние пешком, и его скорость становится в два раза меньшей скорости велосипедиста, то есть $\frac{v}{2}$.
• Он должен пройти оставшееся расстояние $\frac{D}{2}$ со скоростью $\frac{v}{2}$, и время, которое он на это тратит, будет: $$t_3 = \frac{\frac{D}{2}}{\frac{v}{2}} = \frac{D}{v}.$$
• Велосипедист, в свою очередь, продолжает ехать на второй половине пути со своей обычной скоростью $v$, и время, которое он на это тратит, будет: $$t_4 = \frac{\frac{D}{2}}{v} = \frac{D}{2v}.$$

3. Общее время на путь от A до B:

• Общее время для автомобилиста: $$T_{\text{авт}} = t_2 + t_3 = \frac{D}{10v} + \frac{D}{v} = \frac{D}{10v} + \frac{10D}{10v} = \frac{11D}{10v}.$$
• Общее время для велосипедиста: $$T_{\text{вел}} = t_1 + t_4 = \frac{D}{2v} + \frac{D}{2v} = \frac{2D}{2v} = \frac{D}{v}.$$

4. Сравнение времен:

• Время автомобилиста: $T_{\text{авт}} = \frac{11D}{10v}$.
• Время велосипедиста: $T_{\text{вел}} = \frac{D}{v}$.

Очевидно, что $\frac{11D}{10v} < \frac{D}{v}$