На длинной полоске бумаги выписаны натуральные числа 1, 2, 3, …, N. Полоску разрезали на пять частей и нашли среднее арифметическое чисел на каждой части. Получились числа
15,5; 40,5; 63; 100,5 и 138
в некотором порядке. Найдите N.

Задача состоит в том, чтобы найти число $N$, если на полоске бумаги выписаны все натуральные числа от 1 до $N$, она разрезана на 5 частей, а среднее арифметическое чисел в каждой части составляет одно из чисел 15,5; 40,5; 63; 100,5 и 138 в некотором порядке.

Шаг 1: Сумма всех чисел от 1 до $N$

Сначала найдем сумму всех чисел от 1 до $N$. Сумма этих чисел вычисляется по формуле для суммы арифметической прогрессии:

Шаг 2: Связь между суммой и средними арифметическими

Поскольку полоска бумаги разрезана на 5 частей, и для каждой части известно среднее арифметическое чисел, можно выразить сумму чисел в каждой части через это среднее. Если в какой-то части находится $k$ чисел, то сумма чисел в этой части будет равна среднему арифметическому, умноженному на $k$.

Пусть в каждой части $k_1, k_2, k_3, k_4, k_5$ чисел. Тогда для каждой части:

Сумма этих чисел будет равна сумме всех чисел от 1 до $N$, то есть:

Подставим выражения для сумм частей:

Шаг 3: Рассмотрим число $N$

Предположим, что части полоски содержат равное количество чисел, так как суммы чисел на каждой части — это достаточно большие значения, и разбиение полоски на 5 частей с сильно различающимися числами не вполне логично.

Допустим, что $N = 139$. Тогда сумма всех чисел от 1 до 139:

Теперь проверим, соответствуют ли эти данные средним арифметическим:

• Среднее арифметическое первой части (15,5) соответствует числам от 1 до 31 (31 чисел, сумма которых 15,5 * 31 = 486.5).