Решите неравенство
(х+7)^2 / x^2-36 <=0

Чтобы решить неравенство $\frac{(x + 7)^2}{x^2 - 36} \leq 0$, начнем с анализа и преобразования выражений.

1. Определим область допустимых значений.

   Обратите внимание, что в знаменателе выражения $x^2 - 36$ стоит дробь, и знаменатель не должен быть равен нулю. То есть, мы должны исключить те значения $x$, при которых $x^2 - 36 = 0$.

   Решим уравнение $x^2 - 36 = 0$:

   $$x^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \text{ или } x = -6.$$

   Таким образом, $x$ не может быть равным 6 и -6, потому что при этих значениях знаменатель обращается в ноль.

2. Анализируем числитель и знаменатель.

   Теперь разберемся с числителем $(x + 7)^2$ и знаменателем $x^2 - 36$.

   • Числитель $(x + 7)^2$ всегда неотрицателен, так как это квадрат любого числа.
   • Знаменатель $x^2 - 36$ можно разложить как разность квадратов: $$x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6).$$ Таким образом, знаменатель меняет знак в зависимости от того, в каком интервале находится $x$.

3. Определяем знаки выражения на разных интервалах.

   Мы знаем, что $x \neq 6$ и $x \neq -6$, поэтому рассмотрим интервалы:

   • $(-\infty, -6)$
   • $(-6, 6)$
   • $(6, \infty)$

   В каждом из этих интервалов определим знак числителя и знаменателя:

   • Для $x \in (-\infty, -6)$, $x + 7 < 0$, а значит, $(x + 7)^2 > 0$. Также $x - 6 < 0$ и $x + 6 < 0$, так что знаменатель $x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6) > 0$.
   • Для $x \in (-6, 6)$, $x + 7 > 0$, а значит, $(x + 7)^2 > 0$. Также $x - 6 < 0$ и $x + 6 > 0$, так что знаменатель $x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6) < 0$.
   • Для $x \in (6, \infty)$, $x + 7 > 0$, а значит, $(x + 7)^2 > 0$. Также $x - 6 > 0$ и $x + 6 > 0$, так что знаменатель $x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6) > 0$.

4. Решаем неравенство.

   Теперь, чтобы неравенство \frac{(x + 7)^2}{x^2 - 36} \leq 0\ выполнялось, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель – отрицательным. Это возможно только в случае, если числитель \((x + 7)^2 = 0, то есть $x + 7 = 0$, или $x = -7$. Подставив $x = -7$ в знаменатель $x^2 - 36 = (-7)^2 - 36 = 49 - 36 = 13$, получаем положительный знаменатель.

   Таким образом, на интервалах неравенство выполняется при $x = -7$, но в других точках значение выражения строго положительное.

5. Ответ.

   Решением неравенства является $x = -7$.