1. Расстояние между двумя пунктами катер прошел по течению реки за 7 часов, а против течения - за 8 часов. Найдите расстояние между этими пунктами, если скорость течения реки 2,5 км/ч.
2. Ученик задумал число. Если его умножить на 15, к произведению прибавить 25 и полученную сумму разделить на 68, то получится 5. Какое число задумал ученик?
3. Три цеха за смену изготовили 545 деталей. Второй цех изготовил в 2,5 раза меньше, чем первый, а третий – на 95 деталей больше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый цех?

1. Расстояние между пунктами (задача с катером)

Условие:
Катер проходит расстояние между пунктами по течению за 7 часов, а против течения за 8 часов. Скорость течения — 2,5 км/ч. Нужно найти расстояние между пунктами.

Обозначения:

• $V_k$ — собственная скорость катера (без учета течения реки).
• $V_{по} = V_k + 2.5$ — скорость катера по течению.
• $V_{пр} = V_k - 2.5$ — скорость катера против течения.
• $S$ — расстояние между пунктами.

По формуле расстояния $S = V \cdot t$:
$S = V_{по} \cdot 7$ и $S = V_{пр} \cdot 8$.

Получаем систему уравнений:

Решим систему:

1. Из первого уравнения: $V_k = \frac{S}{7} - 2.5$.
2. Из второго уравнения: $V_k = \frac{S}{8} + 2.5$.
   Приравняем:

Приведем к общему знаменателю:

Ответ: Расстояние между пунктами $S = 280$ км.

2. Задуманное число ученика

Условие:
Число умножают на 15, прибавляют 25, затем делят на 68 и получают 5. Найти задуманное число.

Обозначим задуманное число через $x$.
Составим уравнение по условию:

Умножим на 68:

Вычтем 25:

Разделим на 15:

Ответ: Задуманное число — $21$.

3. Детали, изготовленные цехами

Условие:
Три цеха за смену изготовили 545 деталей.

• Второй цех изготовил в 2,5 раза меньше, чем первый.
• Третий цех изготовил на 95 деталей больше, чем второй.
  Найти, сколько деталей изготовил каждый цех.

Обозначим:

• $x$ — количество деталей, изготовленных первым цехом.
• $y$ — количество деталей, изготовленных вторым цехом.
• $z$ — количество деталей, изготовленных третьим цехом.

По условию:

1. $y = \frac{x}{2.5} = \frac{2x}{5}$.
2. $z = y + 95$.
3. $x + y + z = 545$.

Подставим $y$ и $z$ в общее уравнение:

Приведем к общему знаменателю:

Вычтем 95:

Умножим на 5:

Разделим на 9:

Теперь найдём $y$ и $z$:

Ответ:

• Первый цех изготовил $250$ деталей.
• Второй цех изготовил $100$ деталей.
• Третий цех изготовил $195$ деталей.