Определить вероятность того, что среди 400 проб руды окажется 275 проб с промышленным содержанием

Ответы на вопрос

Отвечает Шиндила Паша.

Для определения вероятности того, что среди 400 проб руды окажется 275 проб с промышленным содержанием металла, если вероятность промышленного содержания металла для каждой пробы составляет 0,7, можно использовать распределение Бернулли или приближённое нормальное распределение.

Шаги для решения задачи:

1. Уточнение условий задачи

Вероятность успеха $p = 0.7$ , общее число испытаний $n = 400$ , число успехов $k = 275$ .

В данном случае каждое испытание (проверка одной пробы) имеет два возможных исхода:

Успех: промышленное содержание металла обнаружено ( $P(\text{успех}) = 0.7$ ),
Неудача: промышленное содержание металла не обнаружено ( $P(\text{неудача}) = 0.3$ ).

Общая вероятность такого исхода описывается биномиальным распределением:

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},

где $\binom{n}{k}$ — число сочетаний из $n$ по $k$ :

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.

2. Приближение биномиального распределения нормальным

При больших $n$ биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным распределением. Условие для применения аппроксимации:

n \cdot p \geq 5 \quad \text{и} \quad n \cdot (1 - p) \geq 5.

В данном случае:

n \cdot p = 400 \cdot 0.7 = 280, \quad n \cdot (1 - p) = 400 \cdot 0.3 = 120.

Условие выполняется, поэтому можно использовать нормальное распределение.

Среднее и стандартное отклонение биномиального распределения:

\mu = n \cdot p = 280,

\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{400 \cdot 0.7 \cdot 0.3} = \sqrt{84} \approx 9.165.

При аппроксимации нормальным распределением вероятность $P(X = 275)$ преобразуется в вероятность нахождения значения в интервале:

P(274.5 \leq X \leq 275.5).

3. Стандартизация

Для применения стандартного нормального распределения рассчитываем $z$ -значения:

z_1 = \frac{274.5 - \mu}{\sigma} = \frac{274.5 - 280}{9.165} \approx -0.599,

z_2 = \frac{275.5 - \mu}{\sigma} = \frac{275.5 - 280}{9.165} \approx -0.490.

4. Использование таблицы стандартного нормального распределения

Найдем вероятности для $z_1$ и $z_2$ по таблице стандартного нормального распределения или с использованием статистического софта.

Для $z_1 = -0.599$ , вероятность $P(Z \leq -0.599) \approx 0.274$ ,
Для $z_2 = -0.490$ , вероятность $P(Z \leq -0.490) \approx 0.312$ .

Вероятность $P(274.5 \leq X \leq 275.5)$ :

P = P(Z \leq -0.490) - P(Z \leq -0.599) = 0.312 - 0.274 = 0.038.

Ответ:

Вероятность того, что среди 400 проб окажется ровно 275 проб с промышленным содержанием металла, составляет приблизительно 3,8%.