Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 10 и делит прямой угол в отношении 1: 2. Найдите длину меньшего из катетов.

Чтобы решить задачу, начнем с анализа условий. У нас есть прямоугольный треугольник, медиана которого, проведённая к гипотенузе, равна 10, и она делит прямой угол в отношении $1:2$.

Шаг 1: Свойство медианы в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это значит, что гипотенуза $c$ равна:

Шаг 2: Параметризация треугольника

Из условия медиана делит прямой угол $90^\circ$ в отношении $1:2$. Это значит, что углы при катетах равны $30^\circ$ и $60^\circ$. Таким образом, наш треугольник является 30°–60°–90° треугольником, где стороны находятся в отношении $1:\sqrt{3}:2$.

Обозначим меньший катет за $a$. Тогда:

Шаг 3: Найдём меньший катет

Мы знаем, что гипотенуза $c = 20$. По свойствам треугольника $30^\circ–60^\circ–90^\circ$ гипотенуза равна $2a$:

Разделим на 2:

Ответ

Длина меньшего катета равна $\mathbf{10}$.