С помощью графиков выясните сколько корней имеет уравнение 1/x=-x^2+4

Для того чтобы выяснить, сколько корней имеет уравнение $\frac{1}{x} = -x^2 + 4$, сначала преобразуем его в более удобную для анализа форму.

Шаг 1: Умножение обеих частей уравнения на $x$

Исходное уравнение имеет дробь $\frac{1}{x}$, и для удобства избавимся от этой дроби, умножив обе части уравнения на $x$. Однако, стоит помнить, что $x \neq 0$, так как деление на ноль невозможно:

Теперь получаем уравнение:

Это кубическое уравнение, которое мы будем анализировать.

Шаг 2: Изучение поведения функции

Теперь определим, сколько корней имеет уравнение $x^3 - 4x + 1 = 0$, анализируя функцию $f(x) = x^3 - 4x + 1$.

Для начала найдём производную функции:

Производная показывает, где функция может иметь экстремумы (точки максимума или минимума). Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

Итак, у функции есть два критических значения: $x_1 \approx 1.155$ и $x_2 \approx -1.155$.

Шаг 3: Анализ экстремумов

Теперь нужно понять, являются ли эти точки максимумами или минимумами. Для этого посмотрим на второй производной:

• В точке $x = 1.155$, $f''(1.155) \approx 6 \times 1.155 = 6.93$, что положительно, значит, это точка минимума.
• В точке $x = -1.155$, $f''(-1.155) \approx 6 \times (-1.155) = -6.93$, что отрицательно, значит, это точка максимума.

Шаг 4: Поведение функции на бесконечности

Теперь давайте исследуем поведение функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$:

• При $x \to \infty$, $f(x) \to \infty$, так как ведущий член кубического уравнения $x^3$ растет быстрее, чем остальные.
• При $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$, так как $x^3$ также стремится к минус бесконечности.

Шаг 5: Исследование количества корней

У нас есть кубическое уравнение $x^3 - 4x + 1 = 0$, и мы знаем, что функция $f(x)$ стремится к $-\infty$ при $x \to -\infty$ и к $\infty$ при $x \to \infty$. Поскольку функция имеет максимум при $x \approx -1.155$ и минимум при $x \approx 1.155$, она меняет знак дважды (один раз между максимумом и минимумом, второй раз — после минимума).

Таким образом, по теореме о промежуточных значениях функция $f(x) = 0$ должна иметь три корня: один в интервале $(-\infty, -1.155)$, второй — в интервале $(-1.155, 1.155)$, и третий — в интервале $(1.155, \infty)$.

Ответ:

У уравнения $\frac{1}{x} = -x^2 + 4$ три корня.