Имеет ли корни уравнение x³ = x : x

Уравнение $x^3 = \frac{x}{x}$ имеет корни, но необходимо учесть несколько важных моментов.

1. Упрощение правой части: Для начала, нужно понимать, что выражение $\frac{x}{x}$ при $x \neq 0$ упрощается до 1. То есть, уравнение становится:

   $$x^3 = 1.$$

   Теперь нам нужно решить уравнение $x^3 = 1$.

2. Решение уравнения $x^3 = 1$: Это кубическое уравнение, и его решения — это корни из 1. В действительности, оно имеет три корня:

   • Первый корень — это $x = 1$, так как $1^3 = 1$.

   • Второй и третий корни — это комплексные числа. Эти корни можно выразить через формулы для корней из единицы:

     $$x = e^{2\pi i / 3} \quad \text{и} \quad x = e^{-2\pi i / 3}.$$

     Это комплексные числа, которые также удовлетворяют уравнению $x^3 = 1$.

3. Что происходит при $x = 0$?: Если $x = 0$, то правая часть уравнения $\frac{x}{x}$ становится неопределённой (деление на ноль). Поэтому $x = 0$ не является решением уравнения.

Итак, у уравнения $x^3 = \frac{x}{x}$ есть три корня:

• $x = 1$

• два комплексных корня $x = e^{2\pi i / 3}$ и $x = e^{-2\pi i / 3}$, которые являются кубическими корнями из единицы.