Решите уравнение 2/(3x+1) - x/(1-3x) = 2x/(9x²-1)

Решим уравнение:

Шаг 1: Упростим выражения

Обратим внимание на выражение в правой части уравнения. Видно, что знаменатель $9x^2 - 1$ является разностью квадратов, и его можно разложить:

Теперь перепишем уравнение с этим разложением:

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю

Обратите внимание на выражения с дробями в левой части. Чтобы привести их к общему знаменателю, рассмотрим знаменатели $3x + 1$ и $1 - 3x$. Заметив, что $1 - 3x = -(3x - 1)$, можем переписать левую часть уравнения так:

Теперь левую часть можно упростить:

Приведем эти дроби к общему знаменателю $(3x + 1)(3x - 1)$:

Сложим числители:

Шаг 3: Упростим числители

Раскроем скобки в числителях:

Теперь сложим эти выражения:

Таким образом, уравнение примет вид:

Шаг 4: Умножим обе части на $(3x + 1)(3x - 1)$

Так как знаменатели одинаковые, умножим обе части уравнения на $(3x + 1)(3x - 1)$ и получим:

Шаг 5: Переносим все на одну сторону

Переносим все элементы в левую часть уравнения:

Упрощаем:

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение

Решим квадратное уравнение $3x^2 + 5x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант рассчитывается по формуле:

В нашем случае $a = 3$, $b = 5$, $c = -2$