Решить уравнение 5/x + 4/(x-3) = 3

Для того чтобы решить уравнение $\frac{5}{x} + \frac{4}{x-3} = 3$, давайте шаг за шагом разберемся, как можно найти его решение.

1. Приведение к общему знаменателю: У нас есть два дробных выражения: $\frac{5}{x}$ и $\frac{4}{x-3}$. Чтобы привести их к общему знаменателю, нам нужно найти такой знаменатель, который одновременно делится на $x$ и $x-3$. Это будет $x(x-3)$. Теперь перепишем каждую дробь с этим общим знаменателем.

   Первая дробь:

   $$\frac{5}{x} = \frac{5(x-3)}{x(x-3)}.$$

   Вторая дробь:

   $$\frac{4}{x-3} = \frac{4x}{x(x-3)}.$$

2. Подстановка в исходное уравнение: Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

   $$\frac{5(x-3)}{x(x-3)} + \frac{4x}{x(x-3)} = 3.$$

   Обе дроби теперь имеют одинаковый знаменатель $x(x-3)$, поэтому можно объединить числители:

   $$\frac{5(x-3) + 4x}{x(x-3)} = 3.$$

3. Упростим числитель: Раскроем скобки в числителе:

   $$5(x-3) = 5x - 15.$$

   Тогда числитель станет:

   $$(5x - 15) + 4x = 9x - 15.$$

   Уравнение теперь выглядит так:

   $$\frac{9x - 15}{x(x-3)} = 3.$$

4. Умножим обе части уравнения на $x(x-3)$: Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны уравнения на $x(x-3)$:

   $$9x - 15 = 3x(x-3).$$

5. Раскроем правую часть: Раскроем скобки:

   $$3x(x-3) = 3x^2 - 9x.$$

   Тогда уравнение принимает вид:

   $$9x - 15 = 3x^2 - 9x.$$

6. Приведем все к одной стороне: Переносим все выражения в одну сторону, чтобы уравнение стало квадратным:

   $$0 = 3x^2 - 9x - 9x + 15.$$

   Упростим:

   $$0 = 3x^2 - 18x + 15.$$

   Поделим обе части уравнения на 3:

   $$0 = x^2 - 6x + 5.$$

7. Решаем квадратное уравнение: Теперь у нас есть стандартное квадратное уравнение $x^2 - 6x + 5 = 0$. Решим его с помощью дискриминанта.

   Дискриминант $D$ для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac.$$

   В нашем случае $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$:

   $$D = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16.$$

   Так как дискриминант положительный, у уравнения два корня. Корни находятся по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{6 \pm 4}{2}.$$

   Таким образом, два возможных значения для $x$:

   $$x = \frac{6 + 4}{2} = 5 \quad \text{и} \quad x = \frac{6 - 4}{2} = 1.$$