Решите уравнение (3^x + 3)/4 = 3/(3^x - 2)

Ответы на вопрос

Отвечает Беккер Дима.

Решим уравнение:

\frac{3^x + 3}{4} = \frac{3}{3^x - 2}

Домножим обе части уравнения на знаменатели, чтобы убрать дроби. Умножим обе части на $4(3^x - 2)$ :

(3^x + 3)(3^x - 2) = 12

Применим распределительный закон:

3^x \cdot 3^x - 2 \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x - 2 \cdot 3 = 12

Упростим выражение:

(3^x)^2 + 3^x - 6 = 12

Напомним, что $(3^x)^2 = 3^{2x}$ . Значит, получаем:

3^{2x} + 3^x - 6 = 12

Переносим 12 влево:

3^{2x} + 3^x - 18 = 0

Теперь сделаем замену:

Обозначим $y = 3^x$ , тогда $3^{2x} = (3^x)^2 = y^2$ . Уравнение превращается в квадратное:

y^2 + y - 18 = 0

Используем дискриминант:

D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 1 + 72 = 73

Корни:

y = \frac{-1 \pm \sqrt{73}}{2}

Теперь вернёмся к переменной $x$ . Так как $y = 3^x$ , получаем:

3^x = \frac{-1 + \sqrt{73}}{2} \quad \text{или} \quad 3^x = \frac{-1 - \sqrt{73}}{2}

Второй корень отрицательный, а $3^x > 0$ для любого вещественного $x$ , поэтому он не подходит.

Остаётся:

3^x = \frac{-1 + \sqrt{73}}{2}

Теперь найдём $x$ :

x = \log_3\left( \frac{-1 + \sqrt{73}}{2} \right)

x = \log_3\left( \frac{-1 + \sqrt{73}}{2} \right)

Это точное выражение. Приблизительно это значение можно оценить численно, если нужно. Хочешь узнать приближённый ответ?

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос