Решите уравнение (sinx)^x=1

Рассмотрим уравнение:

$(\sin x)^x = 1.$

Наша задача — найти все значения $x$, при которых это уравнение выполняется. Разберём это пошагово.

Шаг 1: Область определения

Чтобы выражение $(\sin x)^x$ имело смысл:

• $\sin x > 0$, если $x$ нецелое, поскольку нельзя возводить отрицательное или нулевое число в произвольную степень (например, $(-1)^{\pi}$ не определено в вещественных числах).

• Если $x$ — целое число, то можно возводить в степень и ноль, и отрицательные числа, так как это определено.

Шаг 2: Разберём уравнение $(\sin x)^x = 1$

Это возможно в следующих случаях:

Случай 1: $\sin x = 1$

Если $\sin x = 1$, то независимо от значения $x$, левая часть равна $1^x = 1$.
$\sin x = 1$ при:

Эти значения удовлетворяют уравнению.

Случай 2: $x = 0$

Выражение $(\sin x)^x$ превращается в $0^0$, что считается неопределённым выражением.
Поэтому $x = 0$ не подходит.

Случай 3: $(\sin x)^x = 1$ при $x \ne 0$

У нас есть следующее:

Но рассмотрим отдельно ещё один возможный путь:
Когда $x = 1$:

Когда $x = 2n$, $n \in \mathbb{Z}$:
Если $x$ — чётное целое число и $\sin x = \pm 1$, то $(\pm 1)^{2n} = 1$.

Проверим, при каких $x$ $\sin x = -1$: это происходит при:

Если $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, то $\sin x = -1$, и если $x$ — чётное целое число, то $(-1)^x = 1$. Но $\frac{3\pi}{2}$ не является целым числом, значит, это значение не годится.

Значит, единственные целые значения $x$, которые могут подойти, это когда $\sin x = \pm 1$, и $x$ — чётное. Но такие $x$ не совпадают с аргументами, где $\sin x = \pm 1$.

Итог:

Единственные решения приходятся на те значения, при которых:

Ответ: