Вычислите значение выражения 2/(3*5) + 2/(5*7) + ... + 2/(29*31)

Рассмотрим выражение:

Это сумма дробей вида:

где $n = 1, 2, 3, \ldots$

Обратим внимание на структуру слагаемых. Используем разложение в простейшие дроби. Выражение:

можно разложить следующим образом:

Домножим обе части на знаменатель:

Распишем:

Теперь приравниваем коэффициенты:

• при $n$: $2A + 2B = 0$ → $A + B = 0$

• свободный член: $3A + B = 2$

Из первого уравнения: $B = -A$

Подставим во второе:

Итак,

Теперь вернёмся к исходной сумме:

Эта сумма — телескопическая, большинство слагаемых сократятся. После сокращения остаются только крайние члены:

Посчитаем:

Ответ: