Решите уравнение √-x-9=x+9

Для того чтобы решить уравнение $\sqrt{-x - 9} = x + 9$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Рассмотрим область определения: Подкоренное выражение $-x - 9$ должно быть неотрицательным, то есть:

   $$-x - 9 \geq 0$$

   Упростим неравенство:

   $$-x \geq 9$$ $$x \leq -9$$

   Это означает, что решение уравнения будет возможно только при $x \leq -9$.

2. Возведем обе стороны уравнения в квадрат: Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

   $$(\sqrt{-x - 9})^2 = (x + 9)^2$$

   Это даст:

   $$-x - 9 = (x + 9)^2$$

   Раскроем квадрат правой части:

   $$-x - 9 = x^2 + 18x + 81$$

3. Приведем все к одному выражению: Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

   $$0 = x^2 + 18x + 81 + x + 9$$

   Упростим:

   $$0 = x^2 + 19x + 90$$

4. Решим квадратное уравнение: Для решения используем формулу дискриминанта. Сначала найдем дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = 19^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 361 - 360 = 1$$

   Корни уравнения находятся по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-19 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-19 \pm 1}{2}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{-19 + 1}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$ $$x_2 = \frac{-19 - 1}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$

5. Проверим, какие корни удовлетворяют исходному уравнению: Нам нужно проверить, что оба найденных корня удовлетворяют исходному уравнению $\sqrt{-x - 9} = x + 9$.

   • Для $x = -9$:

     $$\sqrt{-(-9) - 9} = \sqrt{9 - 9} = \sqrt{0} = 0$$ $$-9 + 9 = 0$$

     Это верно, значит $x = -9$ — решение.

   • Для $x = -10$:

     $$\sqrt{-(-10) - 9} = \sqrt{10 - 9} = \sqrt{1} = 1$$ $$-10 + 9 = -1$$

     Это не верно, значит $x = -10$ не является решением.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = -9$.