Решите уравнение |x - 3| + |x + 1| = 4

Чтобы решить уравнение с абсолютными значениями $|x - 3| + |x + 1| = 4$, нужно рассматривать различные случаи, в зависимости от того, какие выражения внутри абсолютных значений положительные или отрицательные. Мы будем рассматривать три области:

1. Когда $x \geq 3$.

2. Когда $-1 \leq x < 3$.

3. Когда $x < -1$.

1. Случай $x \geq 3$

Если $x \geq 3$, то оба выражения внутри абсолютных значений $x - 3$ и $x + 1$ положительные. Следовательно, можно убрать знаки абсолютных величин:

Таким образом, уравнение становится:

Упростим это выражение:

Теперь решим для $x$:

Проверим решение $x = 3$. Подставляем в исходное уравнение:

Решение верное. Таким образом, $x = 3$ является решением для этого случая.

2. Случай $-1 \leq x < 3$

Если $-1 \leq x < 3$, то выражение $x - 3$ будет отрицательным, а $x + 1$ — положительным. Таким образом, у нас будет:

Теперь уравнение примет вид:

Упростим это выражение:

Это тождество, которое всегда верно, и значит, что все значения $x$ в интервале $-1 \leq x < 3$ являются решениями. Таким образом, в этом случае решениями будут все значения $x$ на отрезке $[-1, 3)$.

3. Случай $x < -1$

Если $x < -1$, то оба выражения внутри абсолютных значений $x - 3$ и $x + 1$ отрицательные. Следовательно, у нас будет:

Тогда уравнение станет:

Упростим это выражение:

Решим для $x$:

Проверим решение $x = -1$. Подставляем в исходное уравнение:

Решение верное. Таким образом, $x = -1$ является решением для этого случая.

Ответ:

Все решения уравнения $|x - 3| + |x + 1| = 4$ — это $x = -1$ и все значения $x$ на отрезке $[-1, 3]$. То есть, ответ: $x \in [-1, 3]$.