х(7 - х) > 0. Решите неравенство.

Для решения неравенства $x(7 - x) > 0$ нужно сначала преобразовать его.

1. Раскроем скобки:

   $$x(7 - x) = 7x - x^2$$

   Таким образом, неравенство принимает вид:

   $$7x - x^2 > 0$$

2. Перепишем это выражение в стандартной форме:

   $$-x^2 + 7x > 0$$

   Умножим обе части неравенства на $-1$ (при этом неравенство изменит знак):

   $$x^2 - 7x < 0$$

3. Теперь решим квадратное неравенство $x^2 - 7x < 0$. Для этого сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 7x = 0$:

   $$x(x - 7) = 0$$

   Корни уравнения: $x = 0$ и $x = 7$.

4. Разделим числовую ось на интервалы, используя найденные корни $x = 0$ и $x = 7$: $(-∞, 0)$, $(0, 7)$ и $(7, ∞)$.

5. Теперь определим знак выражения $x^2 - 7x$ на каждом из этих интервалов.

   • Для интервала $(-∞, 0)$: возьмем значение $x = -1$. Подставляем в выражение:

     $$(-1)^2 - 7(-1) = 1 + 7 = 8 > 0$$

     Значит, на интервале $(-∞, 0)$ выражение положительное.

   • Для интервала $(0, 7)$: возьмем значение $x = 1$. Подставляем в выражение:

     $$1^2 - 7(1) = 1 - 7 = -6 < 0$$

     Значит, на интервале $(0, 7)$ выражение отрицательное.

   • Для интервала $(7, ∞)$: возьмем значение $x = 8$. Подставляем в выражение:

     $$8^2 - 7(8) = 64 - 56 = 8 > 0$$

     Значит, на интервале $(7, ∞)$ выражение положительное.

6. Нам нужно, чтобы $x^2 - 7x < 0$, то есть выражение было отрицательным. Это происходит на интервале $(0, 7)$.

Таким образом, решение неравенства $x(7 - x) > 0$ — это интервал: