1. Разложите на простые множители числа а) 126; б) 84. 2. Найдите а) НОД(126;84) б) НОК (126;84) 3. Сократите дробь 84 --- 126 4. Вычислите 17 13 --- + -- 126 84 5. Найдите значение выражения 17 30 14 6 7 30 (--- + --) * 2-- + 1 -- : (-- - --) 15 57 23 57 19 57 РЕШЕНИЕ И ОТВЕТ ПЖ

1. Разложите на простые множители числа:

а) 126
Чтобы разложить число 126 на простые множители, начинаем с деления на простые числа.

126 делим на 2 (самое маленькое простое число, так как 126 четное):
$126 ÷ 2 = 63$

Теперь разлагаем 63. Оно делится на 3 (сумма цифр 6 + 3 = 9, делится на 3):
$63 ÷ 3 = 21$

21 делится на 3:
$21 ÷ 3 = 7$

7 — простое число, и на него делить больше нечего.

Итак, разложение числа 126 на простые множители:
$126 = 2 × 3^2 × 7$

б) 84
Начнем с деления 84 на 2 (84 четное):
$84 ÷ 2 = 42$

42 делим на 2:
$42 ÷ 2 = 21$

21 делим на 3:
$21 ÷ 3 = 7$

7 — простое число.

Разложение числа 84 на простые множители:
$84 = 2^2 × 3 × 7$

2. Найдите:

а) НОД(126, 84)
Для нахождения НОД (наибольшего общего делителя) используем разложение чисел на простые множители.

Для 126:
$126 = 2 × 3^2 × 7$

Для 84:
$84 = 2^2 × 3 × 7$

Теперь находим общие множители с наименьшими степенями:

• 2 (минимальная степень 1),

• 3 (минимальная степень 1),

• 7 (минимальная степень 1).

НОД = $2^1 × 3^1 × 7^1 = 2 × 3 × 7 = 42$.

б) НОК(126, 84)
Для нахождения НОК (наименьшего общего кратного) используем разложение чисел на простые множители.

Для НОК нужно взять все простые множители с наибольшими степенями:

• 2 (наибольшая степень 2),

• 3 (наибольшая степень 2),

• 7 (наибольшая степень 1).

НОК = $2^2 × 3^2 × 7^1 = 4 × 9 × 7 = 252$.

3. Сократите дробь $\frac{84}{126}$:
Для сокращения дроби найдём НОД числителя и знаменателя (мы уже нашли, что НОД(84, 126) = 42).

Теперь сокращаем дробь на НОД:
$\frac{84}{126} = \frac{84 ÷ 42}{126 ÷ 42} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

4. Вычислите выражение:
$\frac{17}{126} + \frac{13}{84}$

Нам нужно привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 126 и 84 — это НОК этих чисел. Мы уже нашли НОК(126, 84) = 252.

Теперь приводим дроби к общему знаменателю:

• Для $\frac{17}{126}$ множим числитель и знаменатель на 2:
  $\frac{17}{126} = \frac{17 × 2}{126 × 2} = \frac{34}{252}$

• Для $\frac{13}{84}$ множим числитель и знаменатель на 3:
  $\frac{13}{84} = \frac{13 × 3}{84 × 3} = \frac{39}{252}$

Теперь складываем дроби:
$\frac{34}{252} + \frac{39}{252} = \frac{34 + 39}{252} = \frac{73}{252}$

Ответ: $\frac{73}{252}$.

5. Найдите значение выражения:
$\left( \frac{17}{15} + \frac{30}{57} \right) \times 2 - \frac{14}{23} + \frac{6}{57}$

Для начала приведём все дроби к общему знаменателю.

• Для $\frac{17}{15}$ и $\frac{30}{57}$ находим общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель (НОК для 15 и 57) — это 57. Приводим дробь $\frac{17}{15}$ к знаменателю 57:
  $\frac{17}{15} = \frac{17 × 3}{15 × 3} = \frac{51}{45}$