Решите неравенство 8x-x²больше0

Чтобы решить неравенство $8x - x^2 > 0$, начнем с преобразования его в более удобную форму.

1. Перепишем неравенство:

   $$8x - x^2 > 0$$

   Для удобства, приведем его к стандартному виду:

   $$-x^2 + 8x > 0$$

   Умножим обе части на $-1$, помня, что при умножении или делении на отрицательное число неравенство меняет знак:

   $$x^2 - 8x < 0$$

2. Теперь разложим левую часть на множители. Мы можем выделить общий множитель $x$:

   $$x(x - 8) < 0$$

3. Чтобы решить неравенство $x(x - 8) < 0$, найдем его корни. Для этого приравняем выражение $x(x - 8)$ к нулю:

   $$x(x - 8) = 0$$

   Это уравнение имеет два корня:

   $$x = 0 \quad \text{и} \quad x = 8$$

4. Далее, используем метод интервалов, чтобы определить знак выражения $x(x - 8)$ на разных промежутках. Разделим числовую ось на три интервала, определенные корнями $x = 0$ и $x = 8$:

   • Интервал $(-\infty, 0)$

   • Интервал $(0, 8)$

   • Интервал $(8, +\infty)$

5. Теперь проверим знак выражения $x(x - 8)$ на каждом из интервалов:

   • На интервале $(-∞, 0)$, например, при $x = -1$:

     $$(-1)(-1 - 8) = (-1)(-9) = 9 > 0$$

   • На интервале $(0, 8)$, например, при $x = 1$:

     $$(1)(1 - 8) = (1)(-7) = -7 < 0$$

   • На интервале $(8, +∞)$, например, при $x = 9$:

     $$(9)(9 - 8) = (9)(1) = 9 > 0$$

6. Из этого анализа следует, что выражение $x(x - 8) < 0$ выполняется только на интервале $(0, 8)$.

Итак, решение неравенства $8x - x^2 > 0$ — это интервал: