Докажите, что колебательный контур представляет собой колебательную систему.

Короткий путь — показать, что в идеальном LC-контуре (катушка L + конденсатор C без потерь) динамическая переменная подчиняется уравнению гармонического осциллятора.

1) Записываем законы для элементов и контурное уравнение Кирхгофа.
Для конденсатора $u_C = \dfrac{q}{C}$, где $q(t)$ — заряд на обкладках, а ток $i=\dot q$.
Для катушки $u_L = L\,\dot i = L\,\ddot q$.
В идеальном замкнутом контуре $u_L + u_C = 0$, откуда

2) Это точь-в-точь уравнение гармонического осциллятора.
Стандартный вид: $\ddot x + \omega_0^2 x = 0$. Здесь роль координаты играет заряд $q$, а собственная круговая частота

Решения периодичны:

Значит, контур осциллирует.

3) Энергетический аргумент (наглядность механизма).
Полная энергия

Для идеального контура $\dot W=0$: энергия то «лежит» в конденсаторе, то переходит в катушку и обратно. Регулярный обмен энергией — характерный признак колебательной системы.

4) Реалистичная добавка сопротивления — затухающие колебания.
Если учесть сопротивление $R$, то

то есть классический затухающий осциллятор. При $R<2\sqrt{L/C}$ наблюдаются затухающие колебания с

Это не отменяет факта: в пределе $R\to 0$ система гармонически колеблется, а при малых потерях — остаётся колебательной (хоть и с затуханием).

Вывод. Колебательный контур описывается тем же дифференциальным уравнением, что и гармонический (или затухающий) осциллятор; энергия периодически переходит между конденсатором и катушкой. Следовательно, LC-контур — типичная колебательная система.