Чем отличается пружинный маятник от математического?

Коротко: оба — осцилляторы с одной степенью свободы, но «пружинный» колеблется благодаря упругости пружины по прямой, а «математический» — из-за проекции тяжести по дуге окружности. Из этого вытекают все ключевые отличия.

Что такое каждый из них

• Пружинный маятник: материальная точка (или груз) на пружине, подчиняющейся закону Гука $F=-kx$. Движение — вдоль оси пружины (по прямой).

• Математический маятник: материальная точка на невесомой, нерастяжимой нити (или жестком безмассовом стержне) длиной $l$ в однородном поле тяжести. Движение — по дуге окружности радиуса $l$.

Восстанавливающая сила

• Пружинный: $F=-kx$ (упругая сила), гравитация лишь смещает положение равновесия (в вертикальном варианте), но период не меняет.

• Математический: $F_{\text{танг}}=-mg\sin\theta$ (тангенциальная составляющая тяжести). При малых углах $\sin\theta\approx\theta$.

Условия гармоничности

• Пружинный: строго гармоничен, пока пружина линейна (закон Гука выполняется) и трением можно пренебречь.

• Математический: гармоничен только при малых углах ($\theta\ll1$ рад), иначе движение нелинейно и период зависит от амплитуды.

Периоды колебаний

• Пружинный: $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$
  зависит от массы $m$ и жесткости $k$; не зависит от амплитуды (в линейной области) и от $g$.

• Математический (малые углы): $T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
  зависит от длины $l$ и ускорения свободного падения $g$; не зависит от массы и, при малых углах, от амплитуды. Для больших амплитуд период увеличивается.

Энергия и потенциальные ямы

• Пружинный: потенциальная энергия $U=\tfrac12kx^2$ — «квадратичная яма».

• Математический: $U=mg\,l(1-\cos\theta)$; при малых углах $U\approx\tfrac12\,mgl\,\theta^2$, но при больших — заметно отклоняется от квадратичной.

Траектория и кинематика

• Пружинный: прямая линия; скорость максимальна при проходе через положение равновесия пружины.

• Математический: дуга окружности; скорость максимальна в нижней точке.

Параметры системы

• Пружинный: важны $m$, $k$ и «эффективная масса» самой пружины (если она не пренебрежимо мала).

• Математический: важны $l$ и $g$; нить/стержень считаются безмассовыми и нерастяжимыми.

Влияние внешних факторов

• Пружинный: вертикальное расположение только сдвигает равновесие на $\Delta x=mg/k$; период прежний.

• Математический: изменение $g$ (другая планета, высота) прямо меняет период; на экваторе и в горах период чуть отличается.

Итоги в одной строке

• Пружинный: прямая траектория, сила ~ смещению, $T=2\pi\sqrt{m/k}$, независимость от $g$.

• Математический: дуга, сила ~ $\sin\theta$ (линейно только при малых углах), $T=2\pi\sqrt{l/g}$, независимость от массы и чувствительность к $g$.