Определите момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l = 100 см и массой m = 500 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/5 его длины.

Для того чтобы рассчитать момент инерции $J$ тонкого однородного стержня, можно воспользоваться классическими формулами из механики. Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной ему, зависит от положения оси вращения.

1. Момент инерции относительно оси, проходящей через конец стержня:

Момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси, расположенной в его конце и перпендикулярной стержню, вычисляется по формуле:

где:

• $m$ — масса стержня,

• $l$ — длина стержня.

Подставляем известные значения:

• $m = 500 \, \text{г} = 0.5 \, \text{кг}$,

• $l = 100 \, \text{см} = 1 \, \text{м}$.

Получаем:

2. Момент инерции относительно оси, проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на 1/5 его длины:

Для расчета момента инерции относительно этой оси, можно воспользоваться теоремой о переносе оси. Теорема гласит, что момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс, плюс масса тела, умноженная на квадрат расстояния между этими осями.

Сначала находим момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс стержня. Для тонкого однородного стержня момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен:

Подставляем известные значения:

Теперь, с помощью теоремы о переносе оси, находим момент инерции относительно оси, расположенной на расстоянии $\frac{l}{5}$ от конца стержня. Расстояние от центра масс до этой оси равно $\frac{l}{2} - \frac{l}{5} = \frac{5l}{10} - \frac{2l}{10} = \frac{3l}{10}$.

Момент инерции относительно оси, расположенной на $\frac{l}{5}$ от конца, будет равен:

Подставляем значения:

Таким образом, моменты инерции составляют:

1. $0.167 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$ относительно оси, проходящей через конец стержня,

2. $0.0867 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$ относительно оси, отстоящей от конца стержня на 1/5 его длины.