Определить длину математического маятника, совершающего одно полное колебание за 2 с, если ускорение свободного падения равно 9,81 м/с². Во сколько раз нужно изменить длину маятника, чтобы частота его колебаний увеличилась в 2 раза?

Чтобы найти длину математического маятника, нужно использовать формулу для периода колебаний маятника:

где:

• $T$ — период колебаний (в секундах),

• $L$ — длина маятника (в метрах),

• $g$ — ускорение свободного падения (в м/с²).

В данном случае известно, что период $T = 2$ с, а ускорение свободного падения $g = 9,81$ м/с². Подставим эти значения в формулу и найдем длину $L$:

Для упрощения решения разделим обе части на $2\pi$:

или

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

что даст

Теперь найдем $L$, умножив обе стороны на $9,81$:

Подставим значение $\pi \approx 3,1416$:

Таким образом, длина маятника примерно равна 0,994 м.

Теперь решим вторую часть задачи, где требуется изменить длину маятника, чтобы частота его колебаний увеличилась в 2 раза. Частота колебаний маятника связана с его периодом обратной зависимостью:

где $f$ — частота, а $T$ — период.

Если частота увеличится в 2 раза, это означает, что период уменьшится в 2 раза. То есть новый период $T' = \frac{T}{2}$.

Подставим это в исходную формулу для периода:

Так как новый период в два раза меньше старого, то

Возведем обе стороны в квадрат:

Это означает, что

То есть длину маятника нужно уменьшить в 4 раза, чтобы частота его колебаний увеличилась в 2 раза.