Две частицы A и B движутся с постоянными скоростями v1 и v2 по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения O. В начальный момент времени частицы от точки O находились на расстояниях L1 и L2. Через какой промежуток времени t расстояние L между частицами станет наименьшим? Чему оно равно? ( с интернета решение не прокатило (( ).
Помогите, пожалуйста!

Чтобы решить эту задачу, давайте разберёмся с основными параметрами и введём систему координат, чтобы упростить расчёты.

1. Постановка задачи и введение координат

Пусть:

• Частица $A$ движется вдоль оси $x$ с постоянной скоростью $v_1$.
• Частица $B$ движется вдоль оси $y$ с постоянной скоростью $v_2$.
• В начальный момент времени $t = 0$:
  • Частица $A$ находится на расстоянии $L_1$ от точки $O$ по оси $x$.
  • Частица $B$ находится на расстоянии $L_2$ от точки $O$ по оси $y$.

Задача: найти момент времени $t$, при котором расстояние $L$ между частицами минимально, и это минимальное расстояние.

2. Положение частиц в момент времени $t$

В момент времени $t$:

• Координата частицы $A$ по $x$: $x_A(t) = L_1 - v_1 \cdot t$.
• Координата частицы $B$ по $y$: $y_B(t) = L_2 - v_2 \cdot t$.

Теперь можем выразить расстояние $L$ между частицами $A$ и $B$ в момент времени $t$.

3. Выражение для расстояния $L(t)$

Расстояние $L$ между частицами в момент времени $t$ можно выразить через теорему Пифагора:

4. Минимизация расстояния $L(t)$

Чтобы найти момент времени, при котором расстояние $L(t)$ будет минимально, нужно минимизировать выражение для $L(t)$.

Для этого найдём производную $L(t)$ по времени $t$ и приравняем её к нулю:

1. Найдём производную $L'(t)$ по правилу дифференцирования сложной функции:

   $$L'(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (L_1 - v_1 \cdot t)(-v_1) + 2 \cdot (L_2 - v_2 \cdot t)(-v_2)}{\sqrt{(L_1 - v_1 \cdot t)^2 + (L_2 - v_2 \cdot t)^2}}.$$

   Упростим выражение, сократив на 2 и избавившись от дроби:

   $$L'(t) = \frac{(L_1 - v_1 \cdot t)(-v_1) + (L_2 - v_2 \cdot t)(-v_2)}{\sqrt{(L_1 - v_1 \cdot t)^2 + (L_2 - v_2 \cdot t)^2}}.$$