Два математических маятника, один длиной l1 = 10 см, другой – l2 = 20 см, совершает колебания с одинаковыми угловыми амплитудами. Определите периоды колебаний маятников и отношение их энергий, если массы шариков одинаковы.

Для решения этой задачи нам нужно определить периоды колебаний математических маятников и отношение их энергий.

1. Определение периода колебаний маятника

Период $T$ математического маятника определяется формулой:

где:

• $l$ — длина маятника,
• $g$ — ускорение свободного падения ($g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$).

Для первого маятника ($l_1 = 10 \, \text{см} = 0.1 \, \text{м}$):

Для второго маятника ($l_2 = 20 \, \text{см} = 0.2 \, \text{м}$):

Итак, периоды колебаний маятников:

2. Отношение энергий маятников

Энергия колебаний маятника в случае малых амплитуд определяется как:

где:

• $m$ — масса маятника (одинакова для обоих маятников),
• $\omega = \frac{2\pi}{T}$ — циклическая частота,
• $A$ — амплитуда углового отклонения (одинакова для обоих маятников).

Отношение энергий двух маятников ($E_1 / E_2$) можно выразить через периоды:

Подставляем значения $T_1$ и $T_2$:

Ответ:

1. Периоды колебаний маятников:
   • $T_1 \approx 0.635 \, \text{с}$,
   • $T_2 \approx 0.897 \, \text{с}$.
2. Отношение энергий: $$\frac{E_1}{E_2} \approx 2.$$