В вершинах тетраэдра расположены четыре заряда (рис.). Сторона тетраэдра а. Определить силу

Ответы на вопрос

Отвечает Карпенко Валерия.

Чтобы определить силу, действующую на заряд $Q$ , расположенный в одной из вершин тетраэдра, начнем с анализа взаимодействий между зарядами.

Дано:

В вершинах правильного тетраэдра находятся четыре заряда $Q$ .
Расстояние между соседними зарядами (сторона тетраэдра) равно $a$ .
Заряды равны.

Мы будем использовать закон Кулона для расчета силы взаимодействия между двумя зарядами:

F = k \frac{q_1 q_2}{r^2},

где:

$F$ — сила взаимодействия,
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ — коэффициент пропорциональности,
$q_1$ и $q_2$ — величины зарядов,
$r$ — расстояние между зарядами.

1. Расчет силы между двумя соседними зарядами

Заряды расположены на расстоянии $a$ . Сила взаимодействия между любыми двумя соседними зарядами равна:

F_{1} = k \frac{Q^2}{a^2}.

2. Расчет результирующей силы

Каждый заряд в тетраэдре испытывает влияние от трех других зарядов. Нам нужно определить векторную сумму всех сил, действующих на выбранный заряд.

Геометрия тетраэдра:

У правильного тетраэдра все четыре вершины равны.
Центр масс тетраэдра (центр симметрии) находится внутри него, а расстояние от центра до каждой вершины одинаково.
Угол между любыми двумя рёбрами, исходящими из одной вершины, равен $\arccos(-\frac{1}{3})$ .

Для расчета силы, действующей на заряд $Q$ , удобно выбрать одну вершину (назовем её $A$ ) и определить силы, действующие на $Q$ со стороны зарядов в вершинах $B$ , $C$ , и $D$ .

Вклад от соседних зарядов:

Каждый соседний заряд создает силу $F_1 = k \frac{Q^2}{a^2}$ , направленную вдоль прямой, соединяющей вершины.

Однако направления этих сил различны. Для определения их суммарного эффекта используем свойства симметрии. Векторная сумма всех сил в тетраэдре будет направлена по одной из осей симметрии, проходящей через вершину $A$ и центр тетраэдра.

Учет углов:

Угол между любой парой сил (например, силой от $B$ и силой от $C$ ) равен $\arccos(-\frac{1}{3})$ . Для простоты расчета вводим ортогональную систему координат и проецируем силы на оси.

Итоговая сила:

Благодаря симметрии, результирующая сила $F_{\text{res}}$ на заряд $Q$ равна:

F_{\text{res}} = \sqrt{3} F_{1},

где $F_{1} = k \frac{Q^2}{a^2}$ . Подставляя $F_1$ , получаем:

F_{\text{res}} = \sqrt{3} k \frac{Q^2}{a^2}.

Ответ:

Сила, действующая на заряд $Q$ в одной из вершин тетраэдра, равна:

F_{\text{res}} = \sqrt{3} k \frac{Q^2}{a^2},

где $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ .

В вершинах тетраэдра расположены четыре заряда (рис.). Сторона тетраэдра а. Определить силу действующую на заряд Q. Заряды считать известными.