К потолку комнаты высотой 4 м прикреплено светящееся панно- лампа в виде круга диаметром 2 м. На высоте 2 м от пола параллельно ему
расположен круглый непрозрачный диск диаметром 2 м. Центр панно и центр диска лежат на одной вертикали. Какова общая площадь тени и полутени на полу?
2.Высота изображения человека ростом 160 см на фотоплёнке равна 2 см. Найдите оптическую силу объектива фотоаппарата, если человек сфотографирован с расстояния 9 м.
3. В жидкости с показателем преломления 1,8 помещен точечный источник света. На каком максимальном расстоянии над источником надо поместить диск диаметром 2 см, чтобы свет не вышел из жидкости в воздух?

1. Общая площадь тени и полутени на полу

Даны:

• Высота потолка $H = 4 \, \text{м}$,
• Диаметр светящегося панно $D_1 = 2 \, \text{м}$,
• Высота диска над полом $h = 2 \, \text{м}$,
• Диаметр диска $D_2 = 2 \, \text{м}$.

Анализ задачи:

Панно излучает свет, а диск на высоте $h = 2 \, \text{м}$ частично блокирует его, создавая тень (где свет полностью заблокирован) и полутень (где свет блокируется частично). Нам нужно найти площадь тени и полутени на полу.

1. Рассчитаем угол распространения света от центра панно до краев:

   $$\theta = \arctan\left(\frac{D_1}{2H}\right).$$

2. Найдём радиусы тени ($R_{\text{тень}}$) и полутени ($R_{\text{полутень}}$): Тень формируется нижней границей диска:

   $$R_{\text{тень}} = \frac{H - h}{H} \cdot \frac{D_2}{2}.$$

   Полутень формируется краем панно:

   $$R_{\text{полутень}} = \frac{H}{h} \cdot \frac{D_1}{2}.$$

3. Рассчитаем площади тени и полутени: Площадь полной окружности:

   $$S_{\text{тень}} = \pi R_{\text{тень}}^2, \quad S_{\text{полутень}} = \pi R_{\text{полутень}}^2.$$

   Площадь полутени минус тень даст площадь исключительно полутени.

2. Оптическая сила объектива

Даны:

• Рост человека $h_{\text{человек}} = 160 \, \text{см} = 1,6 \, \text{м}$,
• Высота изображения $h_{\text{изображение}} = 2 \, \text{см} = 0,02 \, \text{м}$,
• Расстояние до объекта $d_{\text{объект}} = 9 \, \text{м}$.

Формула:

Увеличение $k$:

Фокусное расстояние $f$:

Оптическая сила $D$:

Решение:

1. Вычислим $k$: $$k = \frac{0,02}{1,6} = 0,0125.$$
2. Подставим $k$ в формулу: $$0,0125 = \frac{f}{9 - f}.$$ Решим уравнение: $$f = 0,112 \, \text{м}.$$
3. Найдём оптическую силу: $$D = \frac{1}{f} = \frac{1}{0,112} \approx 8,93 \, \text{дптр}.$$

Ответ: $D \approx 8,93 \, \text{дптр}.$

3. Максимальное расстояние для диска в жидкости

Даны:

• Показатель преломления жидкости $n = 1,8$,
• Диаметр диска $D = 2 \, \text{см}$,
• Радиус диска $r = 1 \, \text{см} = 0,01 \, \text{м}$.

Условие полного внутреннего отражения:

Угол падения света:

1. Найдём критический угол:

   $$\sin \theta_{\text{кр}} = \frac{1}{1,8}, \quad \theta_{\text{кр}} \approx 33,75^\circ.$$

2. Радиус области, куда попадает свет:

   $$h_{\text{макс}} = r \cdot \tan \theta_{\text{кр}}.$$