Человек стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной l=2.5 м и массой m=8кг,

Ответы на вопрос

Отвечает Сарсенбек Алтынай.

Рассмотрим задачу на сохранение момента импульса.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется, если на систему не действуют внешние моменты сил. В данной задаче момент инерции системы изменяется при изменении положения стержня, а угловая скорость системы также изменяется, чтобы соблюсти закон сохранения момента импульса.

Дано:

Длина стержня $l = 2.5 \, \text{м}$ ,
Масса стержня $m = 8 \, \text{кг}$ ,
Момент инерции скамьи и человека $J = 10 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$ ,
Частота вращения системы $n_1 = 12 \, \text{мин}^{-1}$ .

Задача:

Найти новую частоту вращения $n_2$ системы, если стержень перевести в горизонтальное положение.

1. Определение угловой скорости системы

Частота вращения $n$ связана с угловой скоростью $\omega$ через формулу:

\omega = 2 \pi n,

где $n$ — частота вращения в единицах $\text{с}^{-1}$ . Переведём $n_1$ в единицы $\text{с}^{-1}$ :

n_1 = \frac{12}{60} = 0.2 \, \text{с}^{-1}.

Тогда угловая скорость начального состояния:

\omega_1 = 2 \pi \cdot 0.2 = 1.2566 \, \text{рад/с}.

2. Моменты инерции в двух положениях стержня

Когда стержень вертикален: Стержень расположен вдоль оси вращения, и его момент инерции относительно оси равен нулю, так как все массы расположены на оси. Таким образом, момент инерции системы:

J_1 = J = 10 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2.

Когда стержень горизонтален: Стержень поворачивается в горизонтальное положение, и его момент инерции относительно оси вращения определяется формулой для стержня, вращающегося вокруг центра:

J_{\text{стержень}} = \frac{1}{12} m l^2.

Подставим значения:

J_{\text{стержень}} = \frac{1}{12} \cdot 8 \cdot (2.5)^2 = \frac{1}{12} \cdot 8 \cdot 6.25 = \frac{50}{12} \approx 4.167 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2.

Общий момент инерции системы:

J_2 = J + J_{\text{стержень}} = 10 + 4.167 = 14.167 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2.

3. Закон сохранения момента импульса

По закону сохранения момента импульса:

L_1 = L_2,

где момент импульса $L$ определяется как $L = J \omega$ . Следовательно:

J_1 \omega_1 = J_2 \omega_2.

Подставим значения:

10 \cdot 1.2566 = 14.167 \cdot \omega_2.

Найдём $\omega_2$ :

\omega_2 = \frac{10 \cdot 1.2566}{14.167} \approx 0.886 \, \text{рад/с}.

4. Перевод угловой скорости в частоту

Частота $n_2$ определяется как:

n_2 = \frac{\omega_2}{2 \pi}.

Подставим значение $\omega_2$ :

n_2 = \frac{0.886}{2 \pi} \approx 0.141 \, \text{с}^{-1}.

Переведём частоту в обороты в минуту:

n_2 = 0.141 \cdot 60 \approx 8.46 \, \text{мин}^{-1}.

Ответ:

Частота вращения системы после перевода стержня в горизонтальное положение составляет $n_2 \approx 8.46 \, \text{мин}^{-1}$ .