Точки А и В делят окружность на дуги,градусные меры которых пропорциональны числам 6 и 9.через точку А проведен диаметр АС. Вычислите градусные меры углов треугольника АВС.

Для решения задачи воспользуемся свойствами окружности и треугольника, вписанного в неё.

1. Определим градусные меры дуг окружности

Дуги окружности, на которые точки $A$ и $B$ делят окружность, пропорциональны числам $6$ и $9$. Сумма всех дуг окружности равна $360^\circ$. Соответственно:

Таким образом:

• Дуга $AB$ (меньшая) равна $144^\circ$.
• Дуга $BA$ (большая) равна $216^\circ$.

2. Вычислим угол $\angle ACB$

Через точку $A$ проведён диаметр $AC$, значит, точка $C$ делит окружность пополам. Угол, опирающийся на дугу $AB$, равен половине её градусной меры:

3. Вычислим угол $\angle CAB$

Угол $\angle CAB$ опирается на дугу $BA$, поэтому он равен половине её градусной меры:

4. Вычислим угол $\angle ABC$

Сумма углов треугольника $\triangle ABC$ равна $180^\circ$. Зная $\angle ACB$ и $\angle CAB$, найдём $\angle ABC$:

Ответ:

• $\angle ACB = 72^\circ$,
• $\angle CAB = 108^\circ$,
• $\angle ABC = 36^\circ$.