На последнем километре тормозного пути скорость поезда уменьшилась на 10 м/с. Какова скорость в начале торможения, если тормозной путь составил 4 км, а торможение было равнозамедленным?

Для решения этой задачи нужно использовать законы равнозамедленного движения. В данном случае мы знаем:

1. Тормозной путь $S = 4 \, \text{км} = 4000 \, \text{м}$,
2. Скорость уменьшилась на последнем километре на $\Delta v = 10 \, \text{м/с}$,
3. Торможение равнозамедленное.

Необходимо найти начальную скорость $v_0$.

Основные уравнения равнозамедленного движения

1. $S = \frac{v_0^2 - v_f^2}{2a}$, где:

   • $v_0$ — начальная скорость,
   • $v_f$ — конечная скорость,
   • $a$ — модуль ускорения (торможения),
   • $S$ — тормозной путь.

2. $a = \frac{v - v_f}{t}$ и $v_f = v_0 - at$.

3. Для последнего километра ($S_1 = 1000 \, \text{м}$):

   $$S_1 = \frac{v_1^2 - v_f^2}{2a},$$

   где $v_1$ — скорость на отметке $3 \, \text{км}$, а $v_f$ — конечная скорость.

Решение

1. Обозначим:

   • $v_0$ — скорость в начале торможения,
   • $v_1$ — скорость на отметке $3 \, \text{км}$,
   • $v_f = 0$ (поезд останавливается).

2. Для последнего километра ($S_1 = 1000 \, \text{м}$):

   $$v_1 - v_f = 10 \, \text{м/с},$$

   поэтому $v_1 = 10 \, \text{м/с}$.

3. Определяем ускорение $a$ на последнем километре:

   $$S_1 = \frac{v_1^2 - v_f^2}{2a}.$$

   Подставим известные данные:

   $$1000 = \frac{10^2 - 0^2}{2a},$$ $$1000 = \frac{100}{2a} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{100}{2000} = 0.05 \, \text{м/с}^2.$$

4. Найдем начальную скорость $v_0$ для полного тормозного пути:

   $$S = \frac{v_0^2 - v_f^2}{2a}.$$

   Подставляем данные:

   $$4000 = \frac{v_0^2 - 0^2}{2 \cdot 0.05},$$ $$4000 = \frac{v_0^2}{0.1} \quad \Rightarrow \quad v_0^2 = 4000 \cdot 0.1 = 400.$$

5. Находим $v_0$:

   $$v_0 = \sqrt{400} = 20 \, \text{м/с}.$$

Ответ:

Начальная скорость поезда $v_0 = 20 \, \text{м/с}$.