На каком расстоянии от дна находится центр масс тонкостенного цилиндрического стакана, имеющего высоту 12 см и диаметр 8 см, если толщина дна в 2 раза больше толщины стенок？

Для того чтобы найти расстояние от дна до центра масс тонкостенного цилиндрического стакана с заданными параметрами, нужно учитывать, что центр масс будет зависеть от массы стенок и дна стакана.

1. Определение основных размеров стакана:

   Высота стакана $H = 12 \, \text{см}$, диаметр основания $D = 8 \, \text{см}$. Радиус основания стакана $R = \frac{D}{2} = 4 \, \text{см}$.

2. Состав стакана:

   Стакан состоит из двух частей:

   • Стенки стакана, которые имеют толщину, обозначим её как $t_s$.
   • Дно стакана, которое имеет толщину $t_d = 2 t_s$ (в 2 раза больше толщины стенок).

3. Моделирование стакана:

   В данном случае можно считать, что стакан — это цилиндр, у которого есть:

   • Стенки: Они образуют прямую цилиндрическую оболочку.
   • Дно: Это диск, расположенный на дне цилиндра.

   Теперь нам нужно найти центр масс этих двух элементов.

4. Центр масс стенок:

   Центр масс стенок цилиндра (без учёта дна) находится на оси цилиндра, но на высоте, которая находится на уровне середины его высоты, то есть на высоте $\frac{H}{2}$ от дна.

5. Центр масс дна:

   Центр масс дна будет находиться в центре этого диска, то есть на расстоянии $\frac{t_d}{2} = t_s$ от нижнего края дна (это половина толщины дна).

6. Центр масс всего стакана:

   Для нахождения центра масс всего стакана, нужно учесть массу стенок и дна. Масса стенок пропорциональна их объёму, и то же самое справедливо для дна. Расстояние до центра масс каждого элемента стакана будет взвешиваться в зависимости от его массы.

   Если обозначить массы стенок $m_s$ и дна $m_d$, то центр масс $x_{\text{cm}}$ всего стакана можно вычислить по формуле:

   $$x_{\text{cm}} = \frac{m_s \cdot \frac{H}{2} + m_d \cdot t_s}{m_s + m_d}$$

   Где:

   • $m_s$ пропорциональна объёму стенок (их площади и толщины),
   • $m_d$ пропорциональна объёму дна (площади круга и толщины).

   Так как масса дна в два раза больше массы стенок (потому что толщина дна в два раза больше), результат будет несколько смещён в сторону дна, но всё равно центр масс останется ближе к середине стакана, так как масса стенок всё равно больше массы дна.

Таким образом, центр масс всего стакана будет располагаться на расстоянии чуть меньше половины высоты стакана. Получится, что центр масс находится примерно на расстоянии 6 см от дна, но с небольшим смещением в сторону дна.