Определить высоту, на которую может подняться шар, запущенный со скоростью $v_0 = 4$ м/с вверх по наклонной плоскости. Трением пренебречь. Шар вращается без проскальзывания.

Для решения задачи нужно учитывать кинетическую энергию шара и закон сохранения энергии, а также учитывать, что шар вращается без проскальзывания.

Шар, движущийся по наклонной плоскости, будет использовать свою начальную кинетическую энергию для преодоления подъема и достижения максимальной высоты, на которой его скорость станет равной нулю.

1. Начальная энергия: У нас есть два компонента кинетической энергии: энергия поступательного движения и энергия вращения.

   • Поступательная кинетическая энергия шара $E_{\text{поступ}} = \frac{1}{2} m v_0^2$, где $m$ — масса шара, $v_0$ — начальная скорость.
   • Энергия вращения $E_{\text{вращ}} = \frac{1}{2} I \omega_0^2$, где $I$ — момент инерции шара, $\omega_0$ — угловая скорость.

   Для шара, который катится без проскальзывания, угловая скорость $\omega_0$ и линейная скорость $v_0$ связаны формулой $\omega_0 = \frac{v_0}{R}$, где $R$ — радиус шара.

   Момент инерции шара относительно его центра масс для твердого шара равен $I = \frac{2}{5} m R^2$.

   Тогда энергия вращения будет:

   $$E_{\text{вращ}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} m R^2 \cdot \left(\frac{v_0}{R}\right)^2 = \frac{1}{5} m v_0^2.$$

   Таким образом, полная начальная энергия будет:

   $$E_{\text{нач}} = E_{\text{поступ}} + E_{\text{вращ}} = \frac{1}{2} m v_0^2 + \frac{1}{5} m v_0^2 = \frac{7}{10} m v_0^2.$$

2. Максимальная высота: Когда шар поднимется на некоторую высоту $h$, его кинетическая энергия перейдет в потенциальную энергию. Потенциальная энергия будет равна $E_{\text{пот}} = m g h$, где $g$ — ускорение свободного падения.

   Закон сохранения энергии говорит, что полная начальная энергия будет равна потенциальной энергии на максимальной высоте (так как трением пренебрегаем, и на высоте максимальной скорости скорость шара будет равна нулю):

   $$E_{\text{нач}} = E_{\text{пот}}.$$

   Подставляем выражения для энергий:

   $$\frac{7}{10} m v_0^2 = m g h.$$

   Убираем массу $m$ и решаем относительно высоты $h$:

   $$h = \frac{7}{10} \cdot \frac{v_0^2}{g}.$$

   Подставляем данные: $v_0 = 4 \, \text{м/с}$ и $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$:

   $$h = \frac{7}{10} \cdot \frac{(4)^2}{9.8} = \frac{7}{10} \cdot \frac{16}{9.8} \approx 1.14 \, \text{м}.$$

Ответ: шар может подняться на высоту примерно 1.14 метра.