Какую наименьшую длину должна иметь свинцовая проволока, чтобы она разорвалась под действием собственного веса при её вертикальном положении за один конец? Предел прочности свинца — 19,6 МПа.

Интересный и немного каверзный вопрос! Давайте разберемся, как его решить.

Что дано:

• Проволока висит вертикально, т.е. вес самой проволоки растягивает её по длине.

• Она разорвётся, если напряжение в самой верхней точке достигнет предела прочности свинца.

• Предел прочности свинца:
  $\sigma_{\text{пр}} = 19{,}6 \, \text{МПа} = 19{,}6 \cdot 10^6 \, \text{Па}$

Что надо найти:

Минимальную длину проволоки $L$, при которой она разорвётся под собственным весом.

Как решать:

Сила тяжести на участок проволоки создаёт растягивающее напряжение в материале. В самой верхней точке проволоки — самое большое напряжение, так как на неё "висит" весь вес проволоки.

Это напряжение можно выразить так:

Масса проволоки $m$ равна:

где:

• $\rho$ — плотность свинца

• $A$ — площадь поперечного сечения проволоки

• $L$ — длина

Тогда сила тяжести:

И подставляем в формулу напряжения:

То есть:

Теперь приравниваем к пределу прочности:

Отсюда:

Подставляем числа:

• $\sigma_{\text{пр}} = 19{,}6 \cdot 10^6 \, \text{Па}$

• $\rho = 11{,}340 \, \text{кг/м}^3$ — плотность свинца

• $g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2$

Ответ:

Минимальная длина свинцовой проволоки, при которой она разорвётся под действием собственного веса, составляет примерно 176,4 метра.