Упростить выражение 6/(m^3+8)+1/(2m+m^2)

Для упрощения выражения $\frac{6}{m^3+8}+\frac{1}{2m+m^2}$, давайте разложим его на множители и приведём к общему знаменателю.

Шаг 1: Разложение на множители

1. Рассмотрим знаменатель $\frac{6}{m^3+8}$:

   Заметим, что $m^3 + 8$ — это сумма кубов, которая раскладывается по формуле:

   $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).$$

   В данном случае $a = m$ и $b = 2$:

   $$m^3 + 8 = (m + 2)(m^2 - 2m + 4).$$

   Таким образом, выражение становится:

   $$\frac{6}{(m+2)(m^2 - 2m + 4)}.$$

2. Теперь разложим знаменатель $\frac{1}{2m + m^2}$:

   Вынесем общий множитель $m$:

   $$2m + m^2 = m(2 + m).$$

   Таким образом, выражение становится:

   $$\frac{1}{m(m+2)}.$$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Найдём общий знаменатель для двух дробей. У нас есть:

Общий знаменатель будет произведением всех множителей, встречающихся в знаменателях обеих дробей:

Теперь приведём дроби к общему знаменателю.

1. Преобразуем первую дробь:

   $$\frac{6}{(m+2)(m^2 - 2m + 4)} = \frac{6m}{m(m+2)(m^2 - 2m + 4)}.$$

2. Преобразуем вторую дробь:

   $$\frac{1}{m(m+2)} = \frac{(m^2 - 2m + 4)}{m(m+2)(m^2 - 2m + 4)}.$$

Шаг 3: Объединение дробей

Теперь, когда дроби имеют общий знаменатель, их можно сложить:

Шаг 4: Упрощение числителя

Упростим числитель:

Заметим, что это полный квадрат:

Таким образом, наше выражение становится:

Сократим общий множитель $(m+2)$:

Ответ

Итак, упрощённое выражение имеет вид: