Из колоды в 36 карт одну за другой (без возвращения) вытаскивают
2 карты. Какова вероятность того, что появятся: а) 2 дамы; б) ни одной дамы; в)
хотя бы одна дама; г) валет и дама?

Для решения задачи о вероятностях при вытягивании карт из колоды в 36 карт, рассмотрим каждый пункт по отдельности.

Обозначения:

• В колоде 36 карт 4 дамы и 4 валета.
• Карты вытягиваются без возвращения, то есть после первого вытягивания количество карт в колоде уменьшается.

а) Вероятность того, что появятся 2 дамы

Чтобы вытянуть две дамы подряд, сначала нужно, чтобы первой вытянута была дама, затем — ещё одна дама. Количество дам в колоде — 4.

1. Вероятность вытянуть первую даму:

   $$P(\text{первая дама}) = \frac{4}{36}$$

2. После вытягивания первой дамы в колоде остаётся 35 карт и 3 дамы. Вероятность вытянуть вторую даму:

   $$P(\text{вторая дама}) = \frac{3}{35}$$

Общая вероятность двух дам подряд:

Ответ: вероятность того, что появятся 2 дамы, равна $\frac{1}{105}$.

б) Вероятность того, что не появится ни одной дамы

Теперь нужно найти вероятность, что обе вытянутые карты не будут дамами.

1. Вероятность, что первая карта не дама:

   $$P(\text{первая не дама}) = \frac{32}{36}$$

   (так как 32 карты не дамы)

2. Вероятность, что вторая карта также не дама, после того как первую не даму вытянули (осталось 35 карт, из них 31 не дама):

   $$P(\text{вторая не дама}) = \frac{31}{35}$$

Общая вероятность того, что ни одной дамы не будет:

Ответ: вероятность того, что не будет ни одной дамы, равна $\frac{248}{315}$.

в) Вероятность того, что появится хотя бы одна дама

Эта вероятность дополняет вероятность того, что не появится ни одной дамы. То есть можно вычесть из 1 вероятность того, что не будет ни одной дамы:

Ответ: вероятность того, что появится хотя бы одна дама, равна $\frac{67}{315}$.

г) Вероятность того, что появятся валет и дама

Сначала вытаскиваем одну карту, затем — другую. Возможны два варианта: первой вытягиваем даму, затем валета, или первой вытягиваем валета, затем даму.

1. Вероятность, что первой будет дама, а затем валет:

   $$P(\text{дама, потом валет}) = \frac{4}{36} \times \frac{4}{35} = \frac{16}{1260} = \frac{4}{315}$$

2. Вероятность, что первым будет валет, а затем дама:

   $$P(\text{валет, потом дама}) = \frac{4}{36} \times \frac{4}{35} = \frac{16}{1260} = \frac{4}{315}$$

Складываем вероятности этих двух событий:

Ответ: вероятность того, что появятся валет и дама, равна $\frac{8}{315}$.