Найдите уравнение общей касательной к графикам функций F(x)=x^2+4x+8 и g(x)=x^2+8x+4

Для нахождения уравнения общей касательной к графикам функций $F(x) = x^2 + 4x + 8$ и $g(x) = x^2 + 8x + 4$ рассмотрим следующие шаги.

Шаг 1: Определение формы уравнения касательной

Общее уравнение касательной к функции можно записать в виде:

где $k$ — это угловой коэффициент (наклон касательной), а $b$ — свободный член (значение пересечения с осью $y$).

Шаг 2: Найдем производные функций

Чтобы найти наклон касательной, вычислим производные от $F(x)$ и $g(x)$, поскольку наклон касательной в точке совпадает со значением производной в этой точке.

1. Для функции $F(x) = x^2 + 4x + 8$:

   $$F'(x) = 2x + 4$$

2. Для функции $g(x) = x^2 + 8x + 4$:

   $$g'(x) = 2x + 8$$

Таким образом, угловые коэффициенты касательных к графикам этих функций зависят от $x$ и равны $F'(x) = 2x + 4$ и $g'(x) = 2x + 8$.

Шаг 3: Определим условие общей касательной

Для того чтобы прямая была общей касательной к обоим графикам, она должна иметь одинаковый наклон и касаться графиков обеих функций. Это значит, что существуют такие точки $x_1$ и $x_2$ на графиках $F(x)$ и $g(x)$ соответственно, что:

1. Наклоны касательной к $F(x)$ и $g(x)$ в этих точках одинаковы:

   $$F'(x_1) = g'(x_2)$$

2. Значения функций в этих точках тоже совпадают, т.е. прямая касается обеих функций в этих точках:

   $$F(x_1) = g(x_2)$$

Шаг 4: Решим систему уравнений для нахождения $x_1$ и $x_2$

1. Из условия $F'(x_1) = g'(x_2)$ получаем:

   $$2x_1 + 4 = 2x_2 + 8$$

   Упростим это уравнение:

   $$2x_1 - 2x_2 = 4$$ $$x_1 - x_2 = 2$$

2. Теперь воспользуемся условием $F(x_1) = g(x_2)$:

   $$x_1^2 + 4x_1 + 8 = x_2^2 + 8x_2 + 4$$

   Подставим $x_2 = x_1 - 2$ из предыдущего уравнения и упростим выражение.

Подстановка $x_2 = x_1 - 2$ даст:

Раскроем скобки и упростим выражение: