Разложите по формуле бинома Ньютона: (1+2х)^6​

Чтобы разложить выражение $(1 + 2x)^6$ по формуле бинома Ньютона, воспользуемся следующим общим видом для бинома:

где:

• $a = 1$,
• $b = 2x$,
• $n = 6$,
• $C_n^k$ — это биномиальный коэффициент, который вычисляется как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$.

Шаг 1: Подставим значения

Подставляя $a = 1$, $b = 2x$ и $n = 6$, получаем:

Так как $1^{6-k} = 1$ для любого $k$, данное выражение можно упростить до:

Теперь найдем каждое слагаемое, подставляя значения $C_6^k$ и $(2x)^k$ для каждого значения $k$ от 0 до 6.

Шаг 2: Вычислим биномиальные коэффициенты

Найдем значения $C_6^k$ для $k = 0, 1, 2, \ldots, 6$:

1. $C_6^0 = 1$
2. $C_6^1 = 6$
3. $C_6^2 = 15$
4. $C_6^3 = 20$
5. $C_6^4 = 15$
6. $C_6^5 = 6$
7. $C_6^6 = 1$

Шаг 3: Подставим значения в сумму

Теперь распишем все слагаемые, подставляя значения $C_6^k$ и $(2x)^k$:

Подставим значения для каждого слагаемого:

1. $C_6^0 \cdot (2x)^0 = 1 \cdot 1 = 1$
2. $C_6^1 \cdot (2x)^1 = 6 \cdot 2x = 12x$