Най¬ди¬те наи¬боль¬шее зна¬че¬ние функ¬ции y=3tgx-3x+5 на от¬рез¬ке [-π/4;0].

Для нахождения наибольшего значения функции $y = 3 \tan x - 3x + 5$ на отрезке $[- \frac{\pi}{4}; 0]$, сначала вычислим производную функции $y$ и найдем критические точки, так как на них могут находиться экстремумы функции.

1. Запишем функцию и область определения:
   $y = 3 \tan x - 3x + 5$
   Функция определена на всём отрезке $[- \frac{\pi}{4}; 0]$, так как тангенс определён на этом промежутке.

2. Найдём производную функции:
   Производная функции $y = 3 \tan x - 3x + 5$ равна:

   $$y' = 3 \sec^2 x - 3$$

   где $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ — это квадрат секанса, являющийся производной тангенса.

3. Равенство производной нулю:
   Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

   $$3 \sec^2 x - 3 = 0$$

   Упростим это уравнение:

   $$\sec^2 x = 1 \Rightarrow \tan^2 x + 1 = 1 \Rightarrow \tan^2 x = 0 \Rightarrow \tan x = 0$$

   Решение этого уравнения на отрезке $[- \frac{\pi}{4}; 0]$ — точка $x = 0$.

4. Значения функции на краях и в критической точке:
   Теперь подставим значения $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = 0$ в исходную функцию, чтобы найти значения $y$ в этих точках.

   • При $x = -\frac{\pi}{4}$:

     $$y = 3 \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 3 \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 5 = 3 \cdot (-1) + \frac{3\pi}{4} + 5 = -3 + \frac{3\pi}{4} + 5$$

     Упростим:

     $$y = 2 + \frac{3\pi}{4}$$

   • При $x = 0$:

     $$y = 3 \tan(0) - 3 \cdot 0 + 5 = 0 + 5 = 5$$

5. Сравнение значений:
   Значение функции на краях отрезка:

   • В точке $x = -\frac{\pi}{4}$: $y = 2 + \frac{3\pi}{4}$
   • В точке $x = 0$: $y = 5$

   Поскольку $5 > 2 + \frac{3\pi}{4}$, наибольшее значение функции на отрезке $[- \frac{\pi}{4}; 0]$ достигается при $x = 0$ и равно $y = 5$.

6. Ответ:
   Наибольшее значение функции $y = 3 \tan x - 3x + 5$ на отрезке $[- \frac{\pi}{4}; 0]$ равно $5$.