Товарный поезд был задержан в пути на 18 минут, а затем на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда. (с краткой записью, пожалуйста) с:

Давайте решим задачу, чтобы найти первоначальную скорость поезда.

Дано:

1. Задержка поезда в пути составила $t = 18$ минут.
2. Поезд наверстал это время на расстоянии $S = 60$ км.
3. Для компенсации задержки поезд увеличил скорость на $\Delta v = 10$ км/ч.

Требуется найти:

Первоначальную скорость поезда $v$ (км/ч).

Решение:

1. Переведем время задержки в часы: Поскольку скорость измеряется в км/ч, переведем 18 минут в часы:

   $$t = \frac{18}{60} = 0{,}3 \text{ часа}$$

2. Обозначим первоначальную скорость как $v$ км/ч. Тогда новая скорость поезда после увеличения составит:

   $$v_{\text{новая}} = v + 10 \text{ км/ч}$$

3. Выразим время, за которое поезд преодолевает 60 км с первоначальной и новой скоростями:

   • Время на преодоление 60 км с первоначальной скоростью $v$: $$t_1 = \frac{S}{v} = \frac{60}{v}$$
   • Время на преодоление 60 км с новой скоростью $v + 10$: $$t_2 = \frac{S}{v + 10} = \frac{60}{v + 10}$$

4. Составим уравнение по условию задачи: Чтобы наверстать задержку, поезд должен был преодолеть 60 км на новой скорости на 18 минут (или 0,3 часа) быстрее, чем если бы он ехал с первоначальной скоростью. Значит,

   $$t_1 - t_2 = 0{,}3$$

   Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

   $$\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 10} = 0{,}3$$

5. Решим уравнение: Умножим обе стороны на $v(v + 10)$, чтобы избавиться от знаменателей:

   $$60(v + 10) - 60v = 0{,}3 \cdot v(v + 10)$$

   Раскроем скобки:

   $$60v + 600 - 60v = 0{,}3v^2 + 3v$$

   Упростим уравнение:

   $$600 = 0{,}3v^2 + 3v$$

   Разделим обе стороны на 0,3, чтобы избавиться от десятичных дробей:

   $$2000 = v^2 + 10v$$

   Перенесем всё в левую часть:

   $$v^2 + 10v - 2000 = 0$$

6. Решим квадратное уравнение: У нас получилось уравнение:

   $$v^2 + 10v - 2000 = 0$$

   Найдём дискриминант:

   $$D = 10^2 + 4 \cdot 2000 = 100 + 8000 = 8100$$

   Тогда

   $$v = \frac{-10 \pm \sqrt{8100}}{2} = \frac{-10 \pm 90}{2}$$

   Решения:

   1. $v = \frac{-10 + 90}{2} = 40$ км/ч
   2. $v = \frac{-10 - 90}{2} = -50$ км/ч (отрицательная скорость не имеет смысла в данном контексте).

   Значит, $v = 40$ км/ч.

Ответ:

Первоначальная скорость поезда была $40$ км/ч.