Произведение всех натуральных чисел от 1 до n обозначается n!. Например, 4! = 1×2×3×4 = 24. Известно, что 35! = 10333147966386144929*66651337523200000000. Найдите цифру, заменённую звёздочкой. Обоснуйте свой ответ.

Обозначим неизвестную цифру через (x).

Число (35!) делится на (9), поскольку среди его множителей есть число (9):

[
35!=1\cdot2\cdot3\cdots9\cdots35.
]

По признаку делимости на (9) сумма цифр числа (35!) должна делиться на (9).

Сумма всех известных цифр в записи

[
10333147966386144929x66651337523200000000
]

равна

[
89+49=138.
]

Значит, полная сумма цифр равна

[
138+x.
]

Так как (138) при делении на (9) даёт остаток (3), необходимо, чтобы

[
3+x
]

делилось на (9). Следовательно,

[
x=6.
]

Действительно,

[
138+6=144,
]

а (144) делится на (9).

Ответ: (6).