Помогите решить уравнение по алгебре 11 класс

5 в степени синус квадрат x вычесть 5 в степени косинус квадрат x = 4

Уравнение: \(5^{\sin^2 x} - 5^{\cos^2 x} = 4\). Так как \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\), обозначим \(t = \sin^2 x\). Тогда \(5^{t} - 5^{1-t} = 4\). Заметим, что \(5^{1-t} = \frac{5}{5^t}\). Пусть \(y = 5^t > 0\). Получаем \(y - \frac{5}{y} = 4\), умножим на \(y\): \(y^2 - 4y - 5 = 0\). Корни: \(y = 5\) и \(y = -1\) (не подходит). Значит, \(5^t = 5\), откуда \(t = 1\). Тогда \(\sin^2 x = 1\), \(\sin x = \pm 1\). Решение: \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\).

0 0 Пожаловаться